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Das Newtonverfahren bei mehrdimensionaler Funktion
Universität / Fachhochschule
Funktionen
Tags: Funktion
 
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Hallo zusammen, ich hätte eine Aufgabe bei welcher ich den letzten Schritt leider nicht ganz verstehe: Die Aufgabe lautet: Sei −→ definiert durch . Fuhren Sie einen Schritt des Newtonverfahrens zur Bestimmung eines lokalen Extremums ¨ von ausgehend von aus. Lösung: Wir berechnen ∇ ∇ ∇^2 4xy ) ( 4xy ∇^2 ∇^2 Ich verstehe nun nicht, wie man auf den letzten Schritt gekommen ist. also wie ist man nun auf die letzte Hesse-Matrix gekommen? Das sieht für mich so aus, als würde es die Inverse der Hesse-Matrix sein, aber ich dachte ehrlich gesagt, dass das gar nicht geht. Könnte mir das vielleicht jemand erklären? Das Symbol-> ∇^2 zeigt immer die Hesse-Matrix an. Vielen Dank im Voraus. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Funktion (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Versuche bitte die Matritzen vernünftig lesbar darzustellen. |
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Okay, tut mir leid. Ich wusste ehrlich gesagt nicht, wie man die Hessematrizen hier vernünftig darstellt. Ich habe nun 2 Bilder von der Aufgabe und der Lösung beigefügt. Ich verstehe leider die letzten 2 Schritte von der Lösung nicht . Könnte mir da bitte jemand helfen? Wird da eine Inverse von der Hessematrix gebildet oder wie wäre das zu verstehen?   |
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Hallo, wieso sollte es nicht erlaubt sein von einer beliebigen quadratischen Matrix die Inverse zu bilden? Gruß pivot |
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Aber ja. Es ist die Hesse-Matrix von der die Inverse gebildet wird. |
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Eine Idee, weshalb die Inverse gebildet werden muss, könntest Du hier bekommen: mathepedia.de/Das_Newton-Verfahren_im_Mehrdimensionalen.html |
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Zur Einordnung des ganzen: Beim Newtonverfahren im geht es um die Nullstellenbestimmung einer hinreichend glatten Funktion . Dazu betrachtet man deren Jacobi-Matrix , dann besteht ein Schritt im Newtonverfahren aus , vorausgesetzt man befindet sich bereits hinreichend nahe an der Nullstelle und die Jacobi-Matrix ist in dieser Umgebung dieser Nullstelle stets regulär. Das ganze kann man nun auch anwenden auf die Suche nach den Extremwertkandidaten einer Funktion , dazu betrachtet dazu einfach , die Jacobimatrix von entspricht dabei dann der Hesse-Matrix von . |
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Hallo zusammen, vielen Dank schon mal für die Antworten. Ich stehe leider gerade immer noch auf dem Schlauch wie die Inverse Matrix dort berechnet wurde . wie kommt man auf die ich verstehe nicht, wie man auf die kommt. Und ich verstehe dort die Inverse Matrix leider auch nicht . Es müsste ja von der Matrix die Inverse berechnet werden, oder? Dabei würde ich als Inverse erhalten. Wo wäre beim Denkfehler, oder kann mir jemand sagen, wie man darauf kommt? Vielen Dank im Voraus |
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"Dabei würde ich als Inverse A−1 erhalten." |
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Erkennst du denn nicht, dass das dieselbe Matrix ist??? Nochmal im Klartext: Es IST . EDIT: Ok, etwas zu spät. |
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Ah, stimmt. Da hatte ich wohl scheuklappen auf :-). Okay, super. Dann hätte ich es soweit verstanden. Noch eine kleine letzte Verständnisfrage: Wäre der Punkt: der erste Punkt, an welchem man die Tangente anlegen würde, oder wie wäre das zu verstehen? Vielen Dank im Voraus. |
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Was meinst du hier bei dieser Funktion mit "Tangente" ? Du kannst in dem Punkt (2,0) allenfalls von einer Tangentialfläche sprechen. |
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Ich habe damals gelernt, dass man bei der Nullstellenbestimmung mit Hilfe des Newtonverfahrens eine Tangente an die Funktion legt bei dem ersten Schritt und dann wieder eine Tangente anlegt Schritt) solange bis die Tangente fast gleich dem Nullpunkt von der Funktion ist. Nun würde man ja hier ein lokales Extremum berechnen und es wäre eine mehrdimensionale Funktion. Aber würde das im Prinzip genauso hier gemacht werden? Oder was würde man mit dem ersten Punkt genau machen? Einfach für mich noch zum Hintergrundverständnis. Vielen Dank im Voraus |
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> Ich habe damals gelernt, dass man bei der Nullstellenbestimmung mit Hilfe des Newtonverfahrens > eine Tangente an die Funktion legt bei dem ersten Schritt und dann wieder eine Tangente anlegt > (2 Schritt) solange bis die Tangente fast gleich dem Nullpunkt von der Funktion ist. Das ist eine korrekte geometrische Deutung der Nullstellenbestimmung einer Funktion , was bei der Extremwertbestimmung einer Funktion dann die Ableitung ist. Wie liegen die Dinge nun hier: Es geht um die Extremwertbestimmung von , zu diesem Zwecke bestimmt man als mögliche Extremwertkandidaten die Nullstellen von , d.h., es ist dann . Was bezeichnest du nun für diese Funktion als Tangente ? Oder doch "irgendwas" von ? Bei hat man einen zweidimensionalen Definitionsbereich und einen zweidimensionalen Wertebereich - ein "Graph" von , den du dann geometrisch irgendwie deuten willst, ist damit ein Gebilde im vierdimensionalen Raum. Da wird es dann langsam schwierig mit der geometrischen Vorstellungskraft. Die Rolle des Tangentenanstiegs übernimmt mathematisch nun hier die Hessematrix von , aber zumindest ich tue mich schwer, das nun anschaulich einzuordnen - aber vielleicht kann da jemand anderes helfen. |
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Okay, super vielen Dank. Ich denke, ich habe es jetzt soweit verstanden :-) |
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