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Funktionenfolge, Grenzwerte, Normen

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Tags: Folgen und Reihen, Funktionalanalysis, Grenzwert, Norm

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11:02 Uhr, 24.04.2024

Auf dem Vektorraum

C ([0, 1])

der stetigen Funktionen

f : [0, 1] \to R

definieren wir zwei Normen:

∣ ∣ f ∣ ∣ \infty = s u p ∣ f (x) ∣ : x \in [0, 1]

und

∣ ∣ f ∣ ∣ 1 = \int_{0}^{1} ∣ f (x) ∣ d x

a) Finden Sie eine Folge von Funktionen

(f_{n})

C ([0, 1])

mit

∣ ∣ f n ∣ ∣ 1 \to 0

und

∣ ∣ f n ∣ ∣ \infty \to \infty

,
wenn n → ∞ .

Intuitiv habe ich die Funktionenfolge

f_{n} = - ((n + 1) x - (n / 2 + 1 / 2)^{2} + n

für alle

n \in N

definiert , da ich sehen kann, dass je grösser mein n wird desto grösser wird die kleinste obere Schranke und kleiner wird die Fläche unter dem Graph. Formel kann ich es jedoch nicht zeigen da , wenn ich das Integral berechne, bekomme ich nicht eine Ausdruck die

\to 0

wenn

n \to \infty

.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

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Ableitung an einer Stelle

Wie bestimmt man die Ableitung