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Isomorphismus multilineare Abb. und 2x2 Matrizen

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Vektorräume

Tags: Isomorphismus, Matrizenrechnung, Multilineare Abbildungen, Vektorraum

TheSaikos aktiv_icon

19:30 Uhr, 04.05.2024

Hey Leute bei der Beweisführung zu einer Aufgabe kam ich leider nicht weiter.

Sei

V

ein K-Vektorraum mit

dim (V) = 2

und sei

B_{V} = (v_{1}, v_{2})

eine Basis von V. Betrachten wir den K-Vektorraum

B^{2} (V)

der multilinearen Abbildungen auf

V,

dh.

B^{2} (v) = {B : V

V \to K : B

ist multilinear

}

. Beweisen Sie, dass die Abbildung Ψ:

B^{2} (v) \to M (2

2, K), B \to (B (v_{i}, v_{j}))

1≤i,j,≤2 ein Isomorphismus von K-Vektorräumen ist.

Für einen Isomorphismus muss man ja auf jeden Fall die Injektivität und die Surjektivität zeigen. Für die Injektivität muss man ja zeigen, dass ein

B_{1}, B_{2}

aus

B^{2}

auf jedem Vektor gleich sind. Da

B_{1}

und

B_{2}

multilineare Abbildungen sind und auf dieselben Vektoren abgebildet werden sollen sind sie aufgrund der Multilinearität insbesondere auf der Basis

B_{V}

gleich, da der gesamte Raum aber dadurch erzeugt wird sind

B_{1}

und

B_{2}

auf jedem Vektor gleich und es folgt

B_{1} = B_{2}

Für die Surjektivität hatte ich leider noch keine Idee, vielleicht könnte man da irgendwie zeigen, dass es zu jeder Matrix ein Urbild gibt in

B^{2} (V),

da bin ich mir aber unsicher wie man das zeigen könnte, ich würde mich daher sehr über eure Hilfe freuen!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

michaL aktiv_icon

21:05 Uhr, 04.05.2024

Hallo,

hast du denn verstanden, was die Schreibweise
>

B \mapsto (B (v_{i}, v_{j}))_{1 \leq i, j \leq 2}

bedeuten soll?
Man hätte es als

B \mapsto (\begin{array}{rr} B (v_{1}, v_{1}) & B (v_{1}, v_{2}) \\ B (v_{2}, v_{1}) & B (v_{2}, v_{2}) \end{array})

schreiben können.

Zunächst ist die Linearität zu beweisen, was aber nur eine Fleißarbeit ist. Daher überlasse ich sie dir. :-)

Injektivität: Seien

B, C

zwei solche multilineare Abbildungen mit

(\begin{array}{rr} B (v_{1}, v_{1}) & B (v_{1}, v_{2}) \\ B (v_{2}, v_{1}) & B (v_{2}, v_{2}) \end{array}) = (\begin{array}{rr} C (v_{1}, v_{1}) & C (v_{1}, v_{2}) \\ C (v_{2}, v_{1}) & C (v_{2}, v_{2}) \end{array})

oder kürzer

B (v_{i}, v_{j}) = C (V_{i}, v_{j})

für

1 \leq i, j \leq 2

.
Seien nun

v, w \in V

, d.h. es gibt

λ_{v}, λ_{w}, μ_{v}, μ_{w} \in K

mit

v = λ_{v} v_{1} + μ_{v} v_{2}

bzw.

w = λ_{w} v_{1} + μ_{w} v_{2}

.

Es gilt dann

B (v, w) = B (λ_{v} v_{1} + μ_{v} v_{2}, λ_{w} v_{1} + μ_{w} v_{2}) = λ_{v} λ_{w} B (v_{1}, v_{1}) + μ_{v} μ_{w} B (v_{2}, v_{2}) + λ_{v} μ_{w} B (v_{1}, v_{2}) μ_{v} λ_{w} B (v_{2}, v_{1})

= \dots = C (v, w)

(Tausche vor "

\dots

" alle

B (v_{k}, v_{l})

durch

C (v_{k}, v_{l})

aus.)

Soll heißen, es gilt

B = C

, was zu zeigen war.

Die Surjektivität ist nicht so schwierig.
Definiere für

v \in V

den so genannten Koordinatenvektor

k_{B_{V}} (v)

von

v

bzgl. der Basis

B_{V}

wie folgt: Gilt

v = λ v_{1} + μ v_{2}

, so sei

k_{B_{V}} (v) := (\begin{array}{r} λ \\ μ \end{array})

.

Das Urbild einer zweireihigen Matrix

M

erhältst du, indem du die multilineare Abbildung

B_{M}

definierst durch

B_{M} (v, w) :=^{T} k_{B_{V}} (v) \cdot M \cdot k_{B_{V}} (w)

.

Rechne nach, dass

B_{M} \mapsto M

gilt.

Mfg Michael

PS: Wenn ihr schon einen Zusammenhang hattet zwischen Basiswechsel und darstellender Matrix bzgl. Basen, dann könnte sich einiges von dem Beweis deutlich verkürzen.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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