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Abitur 2006 Mathematik GK Infinitesimalrechnung (I)

Die untenstehende Abbildung zeigt den Graphen   G f   einer rationalen Funktion f der Form   f ( x ) = x + a b x   mit dem Definitionsbereich   D f = ℝ ∖ { 0 }   .
 (2 BE)

Einziger Schnittpunkt von   G f   mit der x-Achse ist   A ( − 1 | 0 )   , außerdem verläuft   G f   durch den Punkt   B ( 1 | 1 )   . Bestimmen Sie den Funktionsterm von f.
[Ergebnis:   f ( x ) = x + 1 2 x   ]

Gegeben ist nun zusätzlich die Funktion   g : x ↦ ln ⁡ f ( x ) = ln ⁡ ( x + 1 2 x )   mit maximalem Definitionsbereich   D g   . Ihr Graph wird mit   G g   bezeichnet.
 (7 BE)

Begründen Sie anhand des Verlaufs von   G f   , dass gilt:   D g = ℝ ∖ [ − 1 ; 0 ]   .
Untersuchen Sia das Verhalten von   G g   an den Rändern von   D f .
Geben Sie die Gleichungen aller Asymptoten von   G g   an.

 (7 BE)

Ermitteln Sie die Nullstelle von g und untersuchen Sie mit Hilfe der ersten Ableitung das Monotonieverhalten von g.
[Zur Kontrolle:   g ′ ( x ) = − 1 x ( x + 1 )   ]

 (9 BE)

Bestimmen Sie die Stelle   x 0   , an der die Funktion f und g in der ersten Ableitung übereinstimmen.
Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an   G f   in   P ( x 0 | f ( x 0 ) )   sowie die Gleichung der Tangente an   G g   in   Q ( x 0 | g ( x 0 ) ) .
Berechnen Sie die Nullstelle der Tangente in P.
[Ergebnis für die Gleichung der Tangente in P:   y = − 1 2 x + 3 2   ]

 (7 BE)

Berechnen Sie   g ( − 4 ) ,   g ( − 2 ) ,   g ( 0.1 )   und   g ( 4 ) . Zeichnen Sie den Graphen   G g   sowie seine Asymptoten unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse in die untenstehende Abbildung ein. Tragen Sie auch die Tangenten in P und Q ein.


Die Funktion   G : x ↦ x ⋅ g ( x ) + ln ⁡ ( x + 1 )   ist für   x > 0   eine Stammfunktion von g (Nachweis nicht erforderlich).
 (8 BE)

Die Tangenten in P und Q schließen mit den Geraden   x = 1   und   x = 3   ein Parallelogramm ein. Der Graph von g teilt dieses Parallelogramm in zwei Teilflächen.
Wie viel Prozent der Parallelogrammfläche nimmt die Teilfläche unterhalb von   G g   ein?

Diese Abituraufgabe

Lösung als Video:
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