Startseite » Mathematik-Wissen » Abituraufgaben » 2006 Mathematik LK Infinitesimalrechnung (I)

Abitur 2006 Mathematik LK Infinitesimalrechnung (I)

Gegeben ist die Funktion

f : x \mapsto (x - 1) \cdot ln x

mit der Definitionsmenge

D_{f} = ℝ^{+}

. Der Graph von f wird mit

G_{f}

bezeichnet.
Hinweis:

lim_{x \to 0 +} (x^{n} \cdot ln x) = 0

, für

n \in ℕ

, darf ohne Beweis verwendet werden.

Teilaufgabe 1a

(3 BE)

Geben Sie die Nullstellen von f an und untersuchen Sie das Verhalten von f an den Rändern der Definitionsmenge.

Teilaufgabe 1b

(5 BE)

Weisen Sie nach, dass

G_{f}

an der Stelle

x = 1

einen Punkt mit waagrechter Tangente besitzt. Bestimmen Sie das Monotonieverhalten von f.
[Zur Kontrolle:

f^{'} (x) = ln x + 1 - \frac{1}{x}

]

Teilaufgabe 1c

(5 BE)

Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten von

G_{f}

. Berechnen Sie

f (3)

und skizzieren Sie

G_{f}

aufgrund der bisherigen Ergebnisse.

Teilaufgabe 1d

(4 BE)

Begründen Sie, dass f im Intervall

] 0; 1]

umkehrbar ist. Geben Sie Definitions- und Wertemenge der zugehörigen Umkehrfunktion g an.
Bestimmen Sie

lim_{x \to 0 +} g^{'} (x)

Teilaufgabe 1e

(8 BE)

G_{f}

und die Koordinatenachsen begrenzen für

x \leq 1

ein Flächenstück, das sich ins Unendliche erstreckt. Zeigen Sie, dass dieses Flächenstück den endlichen Inhalt 0,75 hat.

Aus rechteckigen Kunststoffplatten von 1 Meter Breite und 2 Meter Höhe wurden Stücke abgeschnitten, wobei die Schnittkurve

p_{t}

Teil einer Parabel ist, die der Gleichung

y = t x^{2} + 2 - t

genügt. Für den Parameter t gilt:

o < t \leq 2

. In nebenstehender Skizze ist der Fall

t = 1, 6

dargestellt.

Teilaufgabe 2a

(3 BE)

Zeigen Sie, dass jede Schnittkurve

p_{t}

durch den Punkt

(1 | 2)

verläuft.
Beschreiben Sie die Bewegung des Parabelscheitels, wenn t bei 2 beginnend alle Werte des Intervalls

] 0; 2]

durchläuft.

Aus der Restplatte werden Rechtecke - wie in der Skizze schraffiert dargestellt - ausgeschnitten. Je eine Seite des Rechtecks soll auf dem unteren bzw. auf dem rechten Rand der Platte zu liegen kommen, eine Ecke des Rechtecks soll auf der Schnittkurve liegen.

Teilaufgabe 2b

(3 BE)

Zeigen Sie, dass für den Inhalt eines solchen Rechtecks gilt: