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Abitur 2006 Mathematik LK Infinitesimalrechnung (II)

Gegeben ist die Schar der Funktionen

f_{k} : x \mapsto \frac{k}{1 + e^{- k x}}

mit

k \in ℝ^{+}

und Definitionsmenge

D_{k} = ℝ

G_{k}

bezeichnet den Graphen von

f_{k}

Teilaufgabe 1a

(2 BE)

Untersuchen Sie das Verhalten von

f_{k}

für

x \to + \infty

und

x \to - \infty

Teilaufgabe 1b

(4 BE)

Bestimmen Sie das Monotonieverhalten von

f_{k}

und geben Sie die Wertemenge an.
[mögliches Zwischenergebnis:

{f_{k}}^{'} (x) = \frac{k^{2} e^{- k x}}{{(1 + e^{- k x})}^{2}}

]

Teilaufgabe 1c

(7 BE)

Weisen Sie nach, dass der Punkt

W_{k} = (0 | \frac{k}{2})

der einzige Wendepunkt von

G_{k}

ist.

Teilaufgabe 1d

(6 BE)

Weisen Sie nach, dass für alle

k \in ℝ^{+}

und alle

x \in ℝ

gilt:

f_{k} (x) + f_{k} (- x) = k

. Begründen Sie damit die Symmetrie von

G_{k}

zum Punkt

W_{k}

Teilaufgabe 1e

(7 BE)

Die beiden Koordinatenachsen und

G_{k}

begrenzen im zweiten Quadranten ein sich ins Unendliche erstreckendes Flächenstück. Veranschaulichen Sie dieses Flächenstück in einer Skizze. Zeigen Sie, dass das Flächenstück den endlichen Inhalt

ln 2

besitzt.

(Hinweis: Für die Integration ist es hilfreich, den Funktionsterm mit

e^{k x}

zu erweitern.)

Bei vielen Wachstumsvorgängen ist kein unbeschränktes Wachstum möglich. Dies gilt z. B. auch für eine Bakterienkultur, deren Bakterienzahl schließlich einer oberen Grenze entgegenstrebt. Die Zahl der Bakterien einer Kultur wird näherungsweise durch die Funktion N mit