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Abitur 2007 Mathematik GK Analytische Geometrie (V)

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte

A (8 | 2 | 0), B (8 | 3 | 2), C (8 | - 3 | 2)

, und

D (8 | - 2 | 0)

sowie der Punkt

B^{'} (0 | 3 | 2)

gegeben.

Teilaufgabe 1a

(5 BE)

Die Punkte

A, B

und

B^{'}

spannen eine Ebene

E

auf. Bestimmen Sie eine Gleichung von

E

in Normalenform.
[mögliches Ergebnis:

E : 2 x_{2} - x_{3} - 4 = 0

]

Teilaufgabe 1b

(8 BE)

Begründen Sie, dass das Viereck

A B C D

ein Trapez ist, und tragen Sie es in ein Koordinatensystem (vgl. Skizze) ein.
Welche Symmetrieeigenschaft und welche besondere Lage im Koordinatensystem hat das Trapez?

Teilaufgabe 1c

(5 BE)

Der Punkt

A^{'}

ist der Schnittpunkt der Ebene

E

mit der

x_{2}

-Achse.
Berechnen Sie die Koordinaten von

A^{'}

. Weisen Sie nach, dass das Dreieck

D A A^{'}

rechtwinklig ist, und bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes

D^{'}

so, dass das Viereck

D A A^{'} D^{'}

ein Rechteck ist.
[Teilergebnis:

A^{'} (0 | 2 | 0)

]

Teilaufgabe 1d

(3 BE)

Der Punkt

C^{'}

entsteht durch Spiegelung des Punktes

B^{'}

an der

x_{1} x_{3}

-Ebene. Geben Sie die Koordinaten von

C^{'}

an und zeichnen Sie das Prisma

A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

in die Zeichnung von Teilaufgabe 1b ein.

Beim Prisma

A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

aus Teilaufgabe 1d handelt es sich um ein gerades Prisma (Nachweis nicht erforderlich). Dieses Prisma gibt die Form eines

16 m

langen Stücks eines Kanals wieder (1 LE in der Zeichnung entspricht

2 m

Teilaufgabe 2a

(4 BE)

Berechnen Sie den Neigungswinkel

α

der Kanalböschung

A A^{'} B^{'} B

gegenüber der horizontalen

x_{1} x_{2}

-Ebene.

Teilaufgabe 2b

(7 BE)

Berechnen Sie, wie viele Kubikmeter Wasser das

16 m

lange Kanalstück enthält, wenn der Kanal bis oben gefüllt ist.
[Ergebnis:

640 m^{3}

]

Teilaufgabe 2c

(8 BE)

Während einer Hitzeperiode führt das

16 m

lange Kanalstück nur noch

45 %

der in Teilaufgabe 2b bestimmten Wassermenge.
Weisen Sie zunächst allgemein nach, dass zwischen der Wassertiefe

t

des Kanals und der zugehörigen Breite

b

der Wasseroberfläche – jeweils gemessen in

m

– folgender Zusammenhang besteht:

b = t + 8 m

.
Berechnen Sie anschließend die Wassertiefe des Kanals in der Hitzeperiode.

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