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Abitur 2007 Mathematik GK Infinitesimalrechnung (I)

Die Abbildung zeigt den Graphen   G f   der Funktion   f : x ↦ 4 e x ( e x + 1 ) 2   mit dem Definitionsbereich   D f = ℝ .

 (5 BE)

Begründen Sie, dass   G f   stets oberhalb der x-Achse verläuft und berechnen Sie den Schnittpunkt von   G f   mit der y-Achse. Weisen Sie nach, dass für   x → ± ∞   die Gerade y = 0 Asymptote von   G f   ist.

 (4 BE)

Erklären Sie, wie man mit Hilfe des Graphen   G f   ohne Berechnung von   f ′   näherungsweise Werte von   f ′   an einzelnen Stellen ermitteln kann. Bestimmen Sie auf die von Ihnen beschriebene Weise einen Näherungswert für   f ′ ( 1 )   auf eine Dezimale gerundet.

 (3 BE)

Die Funktion F mit   D F = ℝ   hat die Form   F ( x ) = c e x + 1   und ist eine Stammfunktion von f. Bestimmen Sie die Konstante c.
[Zur Kontrolle:   F ( x ) = - 4 e x + 1   ]

 (6 BE)

Bestimmen Sie F(0) und F'(0) sowie das Verhalten von F an den Rändern von   D F . Begründen Sie, dass F streng monoton zunehmend in   D F   ist.

 (4 BE)

Tragen Sie die Tangente an den Graphen von F im Punkt   P ( 0 | F ( 0 ) )   in nebenstehendes Koordinatensystem ein und skizzieren Sie anschließend den Graphen von F unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in diese Abbildung.

 (6 BE)

Der Graph   G f , die x-Achse sowie die Geraden   x = - u   und   x = u ( u > 0 )   schließen ein Flächenstück vom Inhalt A(u) ein. Bestimmen Sie   lim u → + ∞ A ( u )   und deuten Sie das Ergebnis geometrisch.

Folgende Tabelle gibt für ausgewählte Jahre im Zeitraum von 1991 bis 1999 die Anzahl der Mobilfunkverträge in Deutschland jeweils zum Jahresende an.



Die steigende Anzahl der Mobilfunkverträge lässt sich in diesem Zeitraum näherungsweise als exponentielles Wachstum auffassen und durch eine Exponentialfunktion der Form N ( x ) = a ⋅ e b x ( a , b ∈ ℝ ) beschreiben. N ( x ) ist dabei die Zahl der Mobilfunkverträge in Millionen, x ist die seit Jahresende 1991 vergangene Zeit in Jahren. Beispielsweise ist x = 8 für das Ende des Jahres 1999.
 (4 BE)

Bestimmen Sie a und b aus den Werten für die Jahre 1991 und 1999. Runden Sie b auf zwei Dezimalen.
[Ergebnis: a = 0,5; b = 0,48]

 (4 BE)

Berechnen Sie die prozentuale Abweichung des Funktionswertes N(x) für das Jahresende 1995 vom tatsächlichen Wert. Welcher Funktionswert ergibt sich für das Jahresende 2007? Bewerten Sie das Ergebnis im oben genannten Anwendungszusammenhang.

 (4 BE)

Bei einem exponentiellen Wachstum dauert es immer gleich lang, bis sich die Funktionswerte verdoppeln. Berechnen Sie diese Verdopplungszeit im vorliegenden Fall.

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