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Abitur 2007 Mathematik GK Infinitesimalrechnung (II)

Gegeben ist die Funktion   f : x ↦ x 2 - 3 x 2 - 9   mit maximalem Definitionsbereich   D f . Ihr Graph wird mit   G f   bezeichnet.
 (4 BE)

Geben Sie den maximalen Definitionsbereich   D f , die Nullstellen von f und das Symmetrieverhalten von   G f   an.

 (6 BE)

Untersuchen Sie das Verhalten von f an den Rändern des Definitionsbereichs und geben Sie die Asymptoten von   G f   an.

 (6 BE)

Bestimmen Sie Art und Lage des relativen Extrempunkts E von   G f .
[Zur Kontrolle:   E ( 0 | 1 3 )   ]

 (6 BE)

Berechnen Sie f(2,5) sowie f(4) und skizzieren Sie den Graphen   G f   und seine Asymptoten unter Berücksichtigung aller bisherigen Ergebnisse im Bereich   - 7 ≤ x ≤ 7   .

 (7 BE)

  F : x ↦ x + ln 3 - x x + 3   ist Stammfunktion von f im maximalen Definitionsbereich   D F   (Nachweis nicht erforderlich).
Zeigen Sie, dass   D F = ] - 3 ; 3 [   der maximale Definitionsbereich von F ist. Berechnen Sie den Inhalt A der Fläche, die   G f   mit der x-Achse einschließt, auf zwei Dezimalen genau.
[Zur Kontrolle:   A ≈ 0 , 83   ]

 (4 BE)

Begründen Sie, beispielsweise mit Hilfe von Flächenbetrachtungen, dass die Integralfunktion   F 0 : x ↦ ∫ 0 x f ( t ) d t   im Intervall   ] - 3 ; 3 [   drei Nullstellen hat.
(Hinweis: Die Nullstellen müssen nicht berechnet werden.)

Betrachtet werden nun Funktionen der Form   f a , b : x ↦ x 2 - a x 2 - b   mit  a , b ∈ ℝ   und  a ≠ b   im jeweils maximalen Definitionsbereich. Ihre Graphen werden mit   G a , b   bezeichnet. Beispielsweise erhält man für a = 3 und b = 9 obige Funktion f.
 (3 BE)

Was muss für b gelten, damit   f a , b   in ganz   ℝ   definiert ist?
Geben Sie die Zahl der Nullstellen in Abhängigkeit von a an.

 (4 BE)

Einer der drei abgebildeten Graphen   G a , b   gehört zum Fall   0 < b < a   .
Geben Sie an, welcher dies ist, und begründen Sie Ihre Antwort, indem Sie erklären, warum die beiden anderen Graphen für den Fall   0 < b < a   nicht in Betracht kommen.


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