Lösung Abitur 2007 Mathematik GK Infinitesimalrechnung (II)

Teilaufgabe 1b

Untersuchen Sie das Verhalten von f an den Rändern des Definitionsbereichs und geben Sie die Asymptoten von

G_{f}

an.

Lösung zu Teilaufgabe 1b

Verhalten der Funktion an den Rändern des Definitionsbereichs

lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} - 3}{x^{2} - 9} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{3}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{9}{x^{2}}} = lim_{x \to \infty} \frac{1 - \overset{\to 0}{\overset{︷}{\frac{3}{x^{2}}}}}{1 - \underset{\to 0}{\underset{︸}{\frac{9}{x^{2}}}}} = 1

lim_{x \to 3^{\pm}} f (x) \begin{matrix} = \\ ↑ \\ x = 3 \pm ϵ \end{matrix} lim_{ϵ \to 0} \frac{(3 \pm ϵ)^{2} - 3}{(3 \pm ϵ)^{2} - 9} = lim_{ϵ \to 0} \frac{9 \pm 6 ϵ + ϵ^{2} - 3}{9 \pm 6 ϵ + ϵ^{2} - 9} = lim_{ϵ \to 0} \frac{\overset{\to 6}{\overset{︷}{6 \pm 6 ϵ + ϵ^{2}}}}{\underset{\to \pm 0}{\underset{︸}{\pm 6 ϵ + ϵ^{2}}}} = \pm \infty

Wegen der Achsensymmetrie von

f

ist:

lim_{x \to - \infty} f = lim_{x \to \infty} f = 1

lim_{x \to - 3^{\pm}} f = - lim_{x \to 3^{\pm}} f = \mp \infty

Asymptoten bestimmen

Aus obigen Berechnungen ergeben sich folgende Asymptoten:

y = 1

x = - 3

x = 3

Diese Abituraufgabe

Angabe: 2007 Mathematik GK Infinitesimalrechnung (II)

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Teilaufgabe 1a

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