Lösung Abitur 2007 Mathematik GK Infinitesimalrechnung (II)

Teilaufgabe 1c

Bestimmen Sie Art und Lage des relativen Extrempunkts E von

G_{f}

.
[Zur Kontrolle:

E (0 | \frac{1}{3})

]

Lösung zu Teilaufgabe 1c

Lage und Art von Extrempunkten ermitteln

Erste Ableitung bilden:

Quotientenregel der Differenzialrechnung

f (x) = \frac{g (x)}{h (x)} \Rightarrow f^{'} (x) = {(\frac{g (x)}{h (x)})}^{'} = \frac{g^{'} (x) \cdot h (x) - g (x) \cdot h^{'} (x)}{h^{2} (x)}

In diesem Fall ist

g (x) = x^{2} - 3

und

h (x) = x^{2} - 9

f^{'} (x) = \frac{2 x \cdot (x^{2} - 9) - (x^{2} - 3) \cdot 2 x}{(x^{2} - 9)^{2}} = \frac{2 x \cdot (x^{2} - 9 - x^{2} + 3)}{(x^{2} - 9)^{2}} = \frac{- 2 x \cdot 6}{(x^{2} - 9)^{2}} = \frac{- 12 x}{(x^{2} - 9)^{2}}

Wann ist die erste Ableitung gleich Null?

f^{'} = 0 \Leftrightarrow \frac{- 12 x}{(x^{2} - 9)^{2}} = 0 \Rightarrow - 12 x = 0 \Rightarrow x = 0

x^{E} = 0

y^{E} = f (x^{E}) = f (0) = \frac{0^{2} - 3}{02 - 9} = \frac{1}{3}

\Rightarrow E (0 | \frac{1}{3})

(Lage des Extrempunktes)

Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung betrachten:

f^{'} (x) = \frac{- 12 x}{(x^{2} - 9)^{2}}

Vorzeichen eines Bruches

Der Zähler

- 12 x

ist positiv für

x < 0

und negativ für

x > 0

Der Nenner

(x^{2} - 9)^{2}

ist für alle

x \in ℝ

immer positiv.

Der Bruch ist also vom Vorzeichen des Zählers abhängig.

f^{'} < 0

für

x > 0

f^{'} > 0

für

x < 0

Vorzeichenwechsel von "+" nach "-", also handelt es sich um ein Maximum (Art des Extrempunkts).

Diese Abituraufgabe

Angabe: 2007 Mathematik GK Infinitesimalrechnung (II)

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Teilaufgabe 1a

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Lage und Art von Extrempunkten ermitteln

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