Lösung Abitur 2007 Mathematik GK Infinitesimalrechnung (II)

Teilaufgabe 2b

Begründen Sie, beispielsweise mit Hilfe von Flächenbetrachtungen, dass die Integralfunktion

F_{0} : x \mapsto \int_{0}^{x} f (t) d t

im Intervall

] - 3; 3 [

drei Nullstellen hat.
(Hinweis: Die Nullstellen müssen nicht berechnet werden.)

Lösung zu Teilaufgabe 2b

Eigenschaften der Integralfunktion

F_{0} : x \mapsto \int_{0}^{x} f (t) d t, x \in] - 3; 3 [

Für

x = 0

ist

F_{0} (0) = \int_{0}^{0} f (t) d t = 0 \Rightarrow

1°Nullstelle.

Was passiert mit der Integralfunktion wenn man

x

gegen 3 laufen lässt?

\Rightarrow \int_{0}^{3} f (t) d t = lim_{b \to 3} \int_{0}^{b} f (t) d t =

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Ist F eine Stammfunktion von f dann gilt:

\int_{a}^{b} f (x) ⅆ x = {[F (x)]}_{a}^{b} = F (b) - F (a)

= lim_{b \to 3} [F]_{0}^{b} = lim_{b \to 3} [\underset{\to 3}{\underset{︸}{b}} + \underset{\to - \infty}{\underset{︸}{ln \underset{\to 0}{\underset{︸}{\frac{3 - b}{b + 3}}}}} - 0] = - \infty

Erläuterung

Wenn die Integralfunktion für

x \to 3

gegen

- \infty

geht, bedeutet dass die negative Fläche (B) "negativ" größer sein kann als die Fläche

A^{'}

, sonst wäre nicht

A^{'} + B < 0

möglich.
Dies bedeutet wiederum dass es eine Fläche

B^{'}

gibt für die gilt

A^{'} + B^{'} = 0

, also

F_{0} (x^{'}) = \int_{0}^{x^{'}} f = 0

und

x^{'}

ist die gesuchte 2° Nullstelle.

\Rightarrow

Es gibt eine 2° Nullstelle im Bereich

[0; 3 [

Aus Symmetrie liegt eine 3° Nullstelle im Bereich

] - 3; 0]

Diese Abituraufgabe

Angabe: 2007 Mathematik GK Infinitesimalrechnung (II)

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Teilaufgabe 1a

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Themen dieser Teilaufgabe:

Eigenschaften der Integralfunktion

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