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Abitur 2007 Mathematik LK Analytische Geometrie (VI)
In einem kartesischen Koordinatensystem des ist die Ebenenschar
mit und gegeben.
mit und gegeben.
(5 BE)
Bestimmen Sie eine Gleichung von in Normalenform. Begründen Sie, dass alle Ebenen der Schar zueinander parallel sind.
[mögliches Teilergebnis: ]
[mögliches Teilergebnis: ]
(3 BE)
Berechnen Sie den Winkel , unter dem jede Ebene der Schar die -Ebene schneidet, auf eine Dezimale gerundet.
(6 BE)
Die Ebene enthält die -Achse und ist Lotebene zur Ebene .
Ermitteln Sie eine Gleichung von in Normalenform und geben Sie eine Gleichung der Schnittgeraden von und in Parameterform an.
[mögliches Teilergebnis: ]
Ermitteln Sie eine Gleichung von in Normalenform und geben Sie eine Gleichung der Schnittgeraden von und in Parameterform an.
[mögliches Teilergebnis: ]
Die Ebene schneidet die -Achse im Punkt , die -Achse im Punkt und die -Achse im Punkt . Diese Punkte und der Ursprung sind für die Ecken einer Pyramide .
(5 BE)
| Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte , und und zeichnen Sie in einem Koordinatensystem (vgl. Skizze) für die Pyramide ein. [Teilergebnis: ] |  |
(7 BE)
Zeigen Sie, dass die Pyramide den Oberflächeninhalt besitzt, und ermitteln Sie das Volumen von in Abhängigkeit von .
(4 BE)
Die Ebene liegt parallel zu einer Seitenfläche und zerlegt in zwei Teilkörper. Berechnen Sie das Verhältnis ihrer Volumina.
(5 BE)
Zeigen Sie, dass die Kugel mit dem Mittelpunkt und dem Radius die Inkugel der Pyramide ist, also alle Begrenzungsflächen von von innen berührt.
(5 BE)
Die Ecken der Pyramide liegen auf einer Kugel (Umkugel) mit dem Mittelpunkt und dem Radius .
Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass gilt: .
Geben Sie sowie an und berechnen Sie .
Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass gilt: .
Geben Sie sowie an und berechnen Sie .
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