Lösung Abitur 2007 Mathematik LK Infinitesimalrechnung (I)

Teilaufgabe 1b

Zeigen Sie, dass

f

streng monoton zunehmend ist. Berechnen Sie

f (1)

sowie

f^{'} (0)

und skizzieren Sie

G_{f}

unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse in ein Koordinatensystem.

Lösung zu Teilaufgabe 1b

Monotonieverhalten einer Funktion

Erste Ableitung bilden:

f^{'} (x) = {(\frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}})}^{'} =

Quotientenregel der Differenzialrechnung

f (x) = \frac{g (x)}{h (x)} \Rightarrow f^{'} (x) = {(\frac{g (x)}{h (x)})}^{'} = \frac{g^{'} (x) \cdot h (x) - g (x) \cdot h^{'} (x)}{h^{2} (x)}

In diesem Fall ist:

g (x) = e^{x} - e^{- x}

und

h (x) = e^{x} + e^{- x}

Aus der Kettenregel der Differentialrechnung

f {(g (x))}^{'} = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)

folgt:

g^{'} (x) = e^{x} - (e^{- x} \cdot (- 1)) = e^{x} + e^{- x}

h^{'} (x) = e^{x} + (e^{- x} \cdot (- 1)) = e^{x} - e^{- x}

= \frac{(e^{x} + e^{- x}) \cdot (e^{x} + e^{- x}) - (e^{x} - e^{- x}) \cdot (e^{x} - e^{- x})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}} = \frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2} - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}

Potenzregeln

{(e^{x})}^{2} = e^{2 x}

e^{x} \cdot e^{- x} = e^{0} = 1

= \frac{e^{2 x} + e^{- 2 x} + 2 - e^{2 x} - e^{- 2 x} + 2}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}} = \frac{4}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}} > 0

\Rightarrow

f

stetig und

f^{'} > 0

ist, ist

f

streng monoton wachsend.

Skizze

f (1) = \frac{e^{1} - e^{- 1}}{e^{1} + e^{- 1}} = 0, 76

f^{'} (0) = \frac{4}{{(e^{0} + e^{- 0})}^{2}} = 1

Diese Abituraufgabe

Angabe: 2007 Mathematik LK Infinitesimalrechnung (I)

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Teilaufgabe 1a

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Monotonieverhalten einer Funktion

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