Lösung Abitur 2007 Mathematik LK Infinitesimalrechnung (II)

Teilaufgabe 1b

Bestimmen Sie das Monotonieverhalten von

f

sowie Art und Lage des Extrempunktes

E

von

G_{f}

.
[Zur Kontrolle:

f^{'} (x) = \frac{ln x - 1}{(ln x)^{2}}

]

Lösung zu Teilaufgabe 1b

Monotonieverhalten einer Funktion

Erste Ableitung bilden:

f^{'} (x) = {(\frac{x}{ln x})}^{'} =

Quotientenregel der Differenzialrechnung

f (x) = \frac{g (x)}{h (x)} \Rightarrow f^{'} (x) = {(\frac{g (x)}{h (x)})}^{'} = \frac{g^{'} (x) \cdot h (x) - g (x) \cdot h^{'} (x)}{h^{2} (x)}

In diesem Fall ist

g (x) = x \Rightarrow g^{'} (x) = 1

und

h (x) = ln x \Rightarrow h^{'} (x) = \frac{1}{x}

= \frac{ln x - x \cdot \frac{1}{x}}{(ln x)^{2}} = \frac{ln x - 1}{(ln x)^{2}}

Welches Vorzeichen hat die erste Ableitung?

f^{'} (x) > 0 \Leftrightarrow \frac{ln x - 1}{(ln x)^{2}} > 0

\Rightarrow ln x - 1 > 0 \Rightarrow ln x > 1

Umkehrfunktion

Die Exponentialfunktion

e^{x}

ist die Umkehrfunktion der Logarithmusfunktion

ln x

, d.h. Exponenzieren macht Logarithmieren rückgängig

\Rightarrow e^{ln x} = x

\Rightarrow e^{ln x} > e^{1} \Rightarrow x > e

f^{'} (x) < 0 \Leftrightarrow \frac{ln x - 1}{(ln x)^{2}} < 0

\Rightarrow ln x - 1 < 0 \Rightarrow ln x < 1

\Rightarrow x < e

Also ist die Funktion

f

abschnittsweise streng monoton fallend für

x \in] 0; 1 [

und

x \in] 1; e [

Für

x \in] e; + \infty [

ist

f

streng monoton steigend.

Lage und Art von Extrempunkten ermitteln

Das Vorzeichen der ersten Ableitung wechselt von "-" nach "+", also liegt ein Minimum vor (Art).

f^{'} (x) = 0 \Rightarrow \frac{ln x - 1}{(ln x)^{2}} = 0 \Rightarrow ln x - 1 = 0 \Rightarrow ln x = 1 \Rightarrow x = e

f (e) = \frac{e}{\underset{= 1}{\underset{︸}{ln e}}} = e

\Rightarrow E (e | e)

(Lage)

Diese Abituraufgabe

Angabe: 2007 Mathematik LK Infinitesimalrechnung (II)

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Teilaufgabe 1a

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Monotonieverhalten einer Funktion

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