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Lösung Abitur 2008 Mathematik GK Analytische Geometrie (VI)

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1b

Weisen Sie nach, dass der Punkt

F (2 | 1 | 1)

Mittelpunkt der Strecke

[A B]

ist, und ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene

G

in Normalenform, bezüglich der die Punkte

A

und

B

zueinander symmetrisch sind.

[mögliches Teilergebnis:

G : x_{1} - x_{2} + x_{3} - 2 = 0

]

Lösung zu Teilaufgabe 1b

Mittelpunkt einer Strecke

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A (1 | 2 | 0)

B (3 | 0 | 2)

F (2 | 1 | 2)

Mittelpunkt der Strecke

[A B]

bestimmen:

\frac{\vec{O A} + \vec{O B}}{2} = \frac{(\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{matrix})}{2} = \frac{(\begin{matrix} 4 \\ 2 \\ 2 \end{matrix})}{2} = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) = \vec{O F}

\Rightarrow F

ist Mittelpunkt der Strecke

[A B]

Ebene aus Punkt und Normalenvektor

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Erläuterung

Die gesuchte Ebene

G

verläuft durch den Punkt

F

, denn die Punkte

A

und

B

sollen bezüglich dieser Ebene symmetrisch zueinander sein. Folglich ist der Vektor

\vec{A B}

der Normalenvektor der Ebene

G

\vec{n_{G}} = \vec{A B} = \vec{O B} - \vec{O A} = (\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ - 2 \\ 2 \end{matrix})

Normalenform der Ebene

G

Normalenform einer Ebene

Die Parameterform einer Ebene

E

lautet:

\vec{x} = \vec{x_{0}} + α \cdot \vec{a} + β \cdot \vec{b}

,

wobei

\vec{x_{0}}

der Ortsvektor ist.

Die Normalenform einer Ebene

E

entsteht durch Skalarprodukt mit dem Normalenvektor

\vec{n_{E}}

. Dieser steht senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren

\vec{a}

und

\vec{b}

der Ebene

E

. Das Skalarprodukt zwischen 2 Vektoren, die senkrecht zueinander stehen, ist gleich

0

.

Es folgt also:

E : \vec{x} \cdot \vec{n_{E}} = (\vec{x_{0}} + α \cdot \vec{a} + β \cdot \vec{b}) \cdot \vec{n_{E}}

= \vec{x_{0}} \cdot \vec{n_{E}} + α \cdot \underset{= 0}{\underset{︸}{\vec{a} \cdot \vec{n_{E}}}} + β \cdot \underset{= 0}{\underset{︸}{\vec{b} \cdot \vec{n_{E}}}}

= \vec{x_{0}} \cdot \vec{n_{E}}

G : \vec{x} \cdot {\vec{n}}_{G} = \vec{O F} \cdot {\vec{n}}_{G} \Leftrightarrow \vec{x} \cdot (\begin{matrix} 2 \\ - 2 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 2 \\ - 2 \\ 2 \end{matrix}) \Leftrightarrow \vec{x} \cdot (\begin{matrix} 2 \\ - 2 \\ 2 \end{matrix}) = 4

\Rightarrow G : 2 x_{1} - 2 x_{2} + 2 x_{3} - 4 = 0 | \cdot \frac{1}{2}

\Rightarrow G : x_{1} - x_{2} + x_{3} - 2 = 0

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