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Abitur 2008 Mathematik GK Infinitesimalrechnung (I)
Gegeben ist die Funktion mit dem Definitionsbereich . Ihr Graph wird mit bezeichnet.
(5 BE)
Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten von sowie das Verhalten von an den Rändern des Definitionsbereichs und geben Sie die Nullstelle von an.
(7 BE)
Bestimmen Sie Lage und Art der Extrempunkte von .
[Teilergebnis: Hochpunkt ]
[Teilergebnis: Hochpunkt ]
(5 BE)
Ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente an im Ursprung.
Berechnen Sie sowie und skizzieren Sie den Graphen
unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse im Bereich .
Berechnen Sie sowie und skizzieren Sie den Graphen
unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse im Bereich .
(3 BE)
Begründen Sie, dass im Intervall umkehrbar ist. Tragen Sie den Graphen der zugehörigen Umkehrfunktion in das Koordinatensystem von Teilaufgabe 1c ein.
Die Funktion mit ist Stammfunktion von (Nachweis nicht erforderlich).
(7 BE)
Der Graph von und der Graph der Umkehrfunktion schließen im ersten Quadranten ein Flächenstück ein. Berechnen Sie den Inhalt dieses Flächenstücks.
| Unmittelbar nach der einmaligen, kurzzeitigen Einleitung von Abwasser in einen See kommt es zu einem Absinken des Sauerstoffgehalts im See. Da die Abwasserbelastung nicht zu hoch ist, führt die Selbstreinigung des Sees schließlich wieder zu einer Erhöhung des Sauerstoffgehalts. Die Funktion , beschreibt näherungsweise den Sauerstoffgehalt des Sees an der Einleitungsstelle. Dabei ist die Anzahl der seit Einleitung des Abwassers vergangenen Tage, die Maßzahl des Sauerstoffgehalts in . Die Abbildung veranschaulicht den Verlauf des Graphen von . |  |
(4 BE)
Beschreiben Sie, wie der Graph von aus dem Graphen von hervorgeht. Nach wie vielen Tagen erreicht der Sauerstoffgehalt seinen kleinsten Wert und wie hoch ist dieser?
(5 BE)
Berechnen Sie, wann der Sauerstoffgehalt wieder auf des ursprünglichen Wertes angestiegen ist.
(4 BE)
Der mittlere Sauerstoffgehalt (in ) an der Einleitungsstelle ist für einen Zeitraum von 20 Tagen nach Einleitung des Abwassers gegeben durch . Bestimmen Sie damit den mittleren Sauerstoffgehalt für diesen Zeitraum.
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