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Lösung Abitur 2008 Mathematik GK Infinitesimalrechnung (II)

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1b

Weisen Sie nach, dass

G_{g}

genau einen Wendepunkt besitzt, und bestimmen Sie die Gleichung der Wendetangente

w

. Tragen Sie diese in obige Abbildung ein. [Zur Kontrolle:

w : y = - \frac{4}{e} x - \frac{6}{e}

]

Lösung zu Teilaufgabe 1b

Wendepunkt ermitteln

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Zweite Ableitung bilden:

g^{''} (x) = {[g^{'} (x)]}^{'} = {(8 x \cdot e^{2 x})}^{'} = 8 \cdot {(x \cdot e^{2 x})}^{'}

Produktregel der Differenzialrechnung

f (x) = g (x) \cdot h (x) \Rightarrow f^{'} (x) = g^{'} (x) \cdot h (x) + g (x) \cdot h^{'} (x)

Hier ist

g (x) = x

und

h (x) = e^{2 x}

\Rightarrow g^{'} (x) = 1

\Rightarrow h^{'} (x) = 2 \cdot e^{2 x}

(Kettenregel)

= 8 \cdot [1 \cdot e^{2 x} + x \cdot {(e^{2 x})}^{'}]

Kettenregel der Differenzialrechnung

f (x) = g (h (x)) \Rightarrow f^{'} (x) = g^{'} (h (x)) \cdot h^{'} (x)

Für die Exponentialfunktion gilt:

{[e^{f (x)}]}^{'} = e^{f (x)} \cdot f^{'} (x)

In unserem Fall also:

{[e^{2 x)}]}^{'} = e^{2 x} \cdot 2

= 8 \cdot (e^{2 x} + x \cdot e^{2 x} \cdot 2)

= 8 e^{2 x} \cdot (2 x + 1)

Zweite Ableitung setzen:

g^{''} = 0

8 e^{2 x} \cdot (2 x + 1) = 0

(1)

Wertebereich der Exponentialfunktion

Die Exponentialfunktion

e^{x}

ist auf ganz

ℝ

positiv, d.h.:

e^{x} > 0

für alle

x \in ℝ

Das Produkt

8 e^{2 x} \cdot (2 x + 1)

ist nur dann gleich Null wenn

2 x + 1 = 0

ist.

\Rightarrow 2 x + 1 = 0

\Rightarrow x^{W} = - \frac{1}{2}

\Rightarrow y^{W} = g (x^{W}) = g (- \frac{1}{2}) = (4 \cdot (- \frac{1}{2}) - 2) \cdot e^{2 \cdot (- \frac{1}{2})} = - \frac{4}{e}

Prüfen, ob

(x^{W} | y^{W})

tatsächlich ein Wendepunkt ist.

Dritte Ableitung bilden:

g^{'''} (x) = {[g^{''} (x)]}^{'} = 8 \cdot {[(2 x + 1) \cdot e^{2 x}]}^{'}

Produktregel der Differenzialrechnung

f (x) = g (x) \cdot h (x) \Rightarrow f^{'} (x) = g^{'} (x) \cdot h (x) + g (x) \cdot h^{'} (x)

Hier ist

g (x) = 2 x + 1

und

h (x) = e^{2 x}

\Rightarrow g^{'} (x) = 2

\Rightarrow h^{'} (x) = 2 \cdot e^{2 x}

(Kettenregel)

= 8 \cdot [2 \cdot e^{2 x} + (2 x + 1) \cdot {(e^{2 x})}^{'}]

Kettenregel der Differenzialrechnung

f (x) = g (h (x)) \Rightarrow f^{'} (x) = g^{'} (h (x)) \cdot h^{'} (x)

Für die Exponentialfunktion gilt:

{[e^{f (x)}]}^{'} = e^{f (x)} \cdot f^{'} (x)

In unserem Fall also:

{[e^{2 x)}]}^{'} = e^{2 x} \cdot 2

= 8 \cdot [2 \cdot e^{2 x} + (2 x + 1) \cdot e^{2 x} \cdot 2]

= 8 \cdot (4 x + 4) \cdot e^{2 x}

= 32 (x + 1) \cdot e^{2 x}

x^{W}

in die dritte Ableitung einsetzen:

g^{'''} (x^{W}) = g^{'''} (- \frac{1}{2}) = 32 (- \frac{1}{2} + 1) \cdot e^{2 \cdot (- \frac{1}{2})} = \frac{16}{e} \neq 0

Bedingungen für ein Extremum

Ein Wendepunkt bei

x^{W}

liegt vor wenn gilt:

g^{''} (x^{W}) = 0

und

g^{'''} (x^{W}) \neq 0

\Rightarrow G_{g}

besitzt bei

(- \frac{1}{2} | - \frac{4}{e})

genau einen (die lineare Gelichung (1) hat nur eine Lösung) Wendepunkt.

Wendetangente

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x^{W} = - \frac{1}{2}

y^{W} = g (x^{W}) = - \frac{4}{e}

g^{'} (x^{W}) = g^{'} (- \frac{1}{2}) = 8 \cdot (- \frac{1}{2}) \cdot e^{2 \cdot (- \frac{1}{2})} = - \frac{4}{e}

Gleichung der Tangente

Die allgemeine Gleichung der Tangente an einem beliebigen Punkt

x_{0}

lautet:

t : y = (x - x_{0}) \cdot g^{'} (x_{0}) + g (x_{0})

Gleichung der Wendetangente:

W : y = (x + \frac{1}{2}) \cdot (- \frac{4}{e}) - \frac{4}{e} = - \frac{4}{e} \cdot (x + \frac{1}{2} + 1) = - \frac{4}{e} x - \frac{6}{e}

Skizze

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