Lösung Abitur 2008 Mathematik GK Infinitesimalrechnung (II)

Teilaufgabe 2b

Die Funktion

G : x \mapsto (2 x - 2) \cdot e^{2 x}

mit

D_{G} = ℝ

ist eine Stammfunktion von

g

(Nachweis nicht erforderlich). Die Schnittpunkte der Graphen

G_{g}

bzw.

G_{h}

mit der

x

-Achse werden mit

N

bzw.

M

bezeichnet.
Berechnen Sie den Inhalt

A

des Flächenstücks, das von der Strecke

[M N]

sowie den Graphen

G_{g}

und

G_{h}

eingeschlossen wird.
(Hinweis:

G_{g}

und

G_{h}

schneiden sich nur auf der

y

-Achse.)

Lösung zu Teilaufgabe 2b

Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen

G : x \mapsto (2 x - 2) \cdot e^{2 x}, D_{G} = ℝ

ist eine Stammfunktion von

g

.

Gesucht ist die Fläche (gelb)

A

A = | \int_{- \frac{1}{2}}^{0} h (x) d x + \int_{0}^{\frac{1}{2}} g (x) d x |

Symmetrieverhalten

Wegen der Symmetrieeigenschaft der beiden Graphen (symmetrisch zueinander bezüglich der

y

-Achse) ist

\int_{- \frac{1}{2}}^{0} h (x) d x = \int_{0}^{\frac{1}{2}} g (x) d x

\Rightarrow \int_{- \frac{1}{2}}^{0} h (x) d x + \int_{0}^{\frac{1}{2}} g (x) d x = 2 \cdot \int_{0}^{\frac{1}{2}} g (x) d x

= 2 \cdot | \int_{0}^{\frac{1}{2}} g (x) d x |

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Ist F eine Stammfunktion von f dann gilt:

\int_{a}^{b} f (x) ⅆ x = {[F (x)]}_{a}^{b} = F (b) - F (a)

= 2 \cdot | G (\frac{1}{2}) - G (0) |

= 2 \cdot | (2 \cdot \frac{1}{2} - 2) \cdot e^{2 \cdot \frac{1}{2}} - (2 \cdot 0 - 2) \cdot e^{2 \cdot 0} |

= 2 \cdot | - e + 2 |

= 2 e - 4

Diese Abituraufgabe

Angabe: 2008 Mathematik GK Infinitesimalrechnung (II)

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Teilaufgabe 1a

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Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen

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