Lösung Abitur 2008 Mathematik GK Stochastik (III)

Teilaufgabe 2b

Wie viele Truhen müssen in diesem Spiel mindestens zur Verfügung gestellt werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als

99, 9 %

wenigstens eine Truhe geöffnet wird?

Lösung zu Teilaufgabe 2b

Wahrscheinlichkeit

p = P (Treffer) = 0, 6

(siehe Aufgabenteil 2a)

q = P (kein Treffer) = 1 - p = 0, 4

P_{s} = 99, 9 %

Sicherheitswahrscheinlichkeit

wenigstens eine Truhe

\Rightarrow z > 1

Es soll gelten:

P (mindestens ein Treffer) = 1 - P (kein Treffer) > P_{s}

\Leftrightarrow 1 - q^{n} > P_{s}

\Leftrightarrow 1 - (0, 4)^{n} > 0, 999

Erläuterung

P_{p}^{n} (z \geq 1) = 1 - P_{p}^{n} (z = 0) = 1 - \underset{= 1}{\underset{︸}{(\binom{n}{0})}} \cdot \underset{= 1}{\underset{︸}{p^{0}}} \cdot \underset{= q^{n}}{\underset{︸}{(1 - p)^{n - 0}}} = 1 - q^{n}

1 - q^{n} > P_{S} \Rightarrow q^{n} < 1 - P_{S} |

Logarithmieren

\Rightarrow ln q^{n} < ln (1 - P_{S})

\Rightarrow n \cdot ln q < ln (1 - P_{S}) | : ln q < 0

\Rightarrow n > \frac{ln (1 - P_{S})}{ln q}

Relationszeichen ändert sich!

\Rightarrow n > \frac{ln (1 - 0, 999)}{ln (0, 4)} = \frac{ln (0, 001)}{ln (0, 4)} = 7, 53

n > 7, 53 \Rightarrow n \geq 8

Es müssen mindestens 8 Truhen zur Verfügung gestellt werden.

Diese Abituraufgabe

Angabe: 2008 Mathematik GK Stochastik (III)

Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

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Themen dieser Teilaufgabe:

Wahrscheinlichkeit

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