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Lösung Abitur 2008 Mathematik LK Analytische Geometrie (VI)

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Teilaufgabe 1a

 
In einem kartesischen Koordinatensystem des ℝ 3 sind die Punkte M ( - 2 | 4 | 1 ) , S ( 6 | 8 | 9 ) , P ( 4 | - 8 | 1 ) sowie die Gerade g : x ⃗ = ( 0 0 1 ) + λ ⋅ ( - 1 0 1 ) , λ ∈ ℝ , gegeben.
Die Strecke [ M S ] ist die Höhe eines geraden Kreiskegels. Sein Grundkreis k um den Punkt M hat den Radius 6 5 und liegt in der Ebene E .
Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E in Normalenform und zeigen Sie, dass der Punkt P auf dem Grundkreis k liegt.

[Zur Kontrolle: E : 2 x 1 + x 2 + 2 x 3 - 2 = 0 ]
 
Lösung zu Teilaufgabe 1a

Ebene aus Punkt und Normalenvektor


M ( - 2 | 4 | 1 ) , S ( 6 | 8 | 9 ) , P ( 4 | - 8 | 1 ) , r k = 6 5

M S ⃗ = O S ⃗ - O M ⃗ = ( 6 8 9 ) - ( - 2 4 1 ) = ( 8 4 8 )

Normalenvektor der Ebene E bestimmen:
Schritt einblenden / ausblenden
n E ⃗ = 1 4 ⋅ M S ⃗ = 1 4 ⋅ ( 8 4 8 ) = ( 2 1 2 )

Normalenform der Ebene E aufstellen:
Schritt einblenden / ausblenden
E N : [ x ⃗ - ( - 2 4 1 ) ] ⋅ ( 2 1 2 ) = 0

E N : x ⃗ ⋅ ( 2 1 2 ) - 2 = 0

E N : 2 x 1 + x 2 + 2 x 3 - 2 = 0
Abstand zweier Punkte


Abstand zwischen dem Punkt P und dem Mittelpunkt M des Kreises k bestimmen:

P M ⃗ = O M ⃗ - O P ⃗ = ( - 2 4 1 ) - ( 4 - 8 1 ) = ( - 6 12 0 )

P M ¯ = | P M ⃗ | = | ( - 6 12 0 ) | = ( - 6 12 0 ) 2 = ( - 6 ) 2 + 12 2 + 0 2 = 180 = 6 5

⇒ P M ¯ = r k

Der Abstand des Punktes P zum Mittelpunkt M ist gleich dem Radius des Kreises k .
Lage des Punktes


Prüfen ob der Punkt P auf der Ebene E liegt:
Schritt einblenden / ausblenden
( 4 - 8 1 ) ⋅ ( 2 1 2 ) - 2 = 0

8 - 8 + 2 - 2 = 0

0 = 0

⇒ P ∈ E

Da der Punkt P in der Ebene E liegt und Abstand r k zum Punkt M hat, muss dieser auch auf dem Kreis k liegen.

Dazu passend bei OnlineMathe.de