Lösung Abitur 2008 Mathematik LK Analytische Geometrie (VI)

Teilaufgabe 1c

Die Gerade

g

teilt den Grundkreis

k

in einen kurzen und einen langen Kreisbogen. Berechnen Sie den Winkel

ϕ

, den die Vektoren

\vec{P R}

und

\vec{P T}

einschließen, und geben Sie an, auf welchem der beiden Bögen der Punkt

P

liegt. Begründen Sie Ihre Antwort.

Lösung zu Teilaufgabe 1c

Winkel zwischen zwei Vektoren

R (8 | 0 | - 7), T (- 10 | 0 | 11), P (4 | - 8 | 1)

Vektoren bestimmen:

\vec{P R} = \vec{O R} - \vec{O P} = (\begin{matrix} 8 \\ 0 \\ - 7 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 4 \\ - 8 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4 \\ 8 \\ - 8 \end{matrix})

\vec{P T} = \vec{O T} - \vec{O P} = (\begin{matrix} - 10 \\ 0 \\ 11 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 4 \\ - 8 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 14 \\ 8 \\ 10 \end{matrix})

Länge der Vektoren bestimmen:

\bar{P R} = | \vec{P R} | = | (\begin{matrix} 4 \\ 8 \\ - 8 \end{matrix}) | = \sqrt{{(\begin{matrix} 4 \\ 8 \\ - 8 \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{4^{2} + 8^{2} + (- 8)^{2}} = \sqrt{144} = 12

\bar{P T} = | \vec{P T} | = | (\begin{matrix} - 14 \\ 8 \\ 10 \end{matrix}) | = \sqrt{{(\begin{matrix} - 14 \\ 8 \\ 10 \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{(- 14)^{2} + 8^{2} + 10^{2}} = \sqrt{360}

Skalarprodukt bilden:

\vec{P R} \cdot \vec{P T} = (\begin{matrix} 4 \\ 8 \\ - 8 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} - 14 \\ 8 \\ 10 \end{matrix}) = - 72

Winkel berechnen:

Skalarprodukt

Aus der allgemeinen Definition des Skalarproduktes folgt:

\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | = cos \underset{α}{\underset{︸}{∡ (\vec{a}, \vec{b})}}

\Rightarrow cos α = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |}

cos ϕ = \frac{\vec{P R} \cdot \vec{P T}}{| \vec{P R} | \cdot | \vec{P T} |} = \frac{- 72}{12 \cdot \sqrt{360}}

\Rightarrow ϕ \approx 108, 4^{\circ}

Fasskreisbogen

Punkte auf einem Fasskreisbogen bilden mit der Kreissehne immer den selben Winkel. Dieser ist kleiner als 90

^{\circ}

für Punkte auf dem großen Bogen, größer als 90

^{\circ}

für Punkte auf dem kleinen Bogen.

Spezialfall ist der Thaleskreis, da ist der Winkeln immer ein rechter Winkel.

ϕ > 90^{\circ}

, liegt der Punkt

P

auf dem kurzen Kreisbogen.

Diese Abituraufgabe

Angabe: 2008 Mathematik LK Analytische Geometrie (VI)

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Teilaufgabe 1a

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Winkel zwischen zwei Vektoren

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