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Lösung Abitur 2008 Mathematik LK Infinitesimalrechnung (I)

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Teilaufgabe 1a

 
Gegeben ist die Funktion f : x → ln ( x 2 ) x , D f = ℝ ∖ { 0 } . Der Graph von f wird mit G f bezeichnet.
Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten von G f . Bestimmen Sie die Nullstellen von f und das Verhalten von f an den Rändern des Definitionsbereichs.
 
Lösung zu Teilaufgabe 1a

Symmetrieverhalten einer Funktion


f ( x ) = ln ( x 2 ) x , D f = ℝ ∖ { 0 }
Schritt einblenden / ausblenden
f ( - x ) = ln [ ( - x ) 2 ] - x

= - ln ( x 2 ) x

= - f ( x )

⇒ G f ist symmetrisch zum Ursprung ( 0 | 0 )
Nullstellen einer Funktion


Wegen der Punktsymmetrie genügt es die Funktion für positives x zu untersuchen ( x > 0 ).
Hat die Funktion für positives x eine (oder mehrere) Nullstelle, dann hat sie auch eine für negatives x und diese ist dann einfach die Spiegelung der Nullstelle aus dem positiven Bereich.

Schritt einblenden / ausblenden
f ( x ) = 2 ln x x = 0

⇒ 2 ln x = 0

⇒ x 1 N = 1

Wegen des Punktsymmetrie folgt: x 2 N = - x 1 N = - 1



Verhalten der Funktion an den Rändern des Definitionsbereichs


Für x > 0 betrachtet man folgende Limiten:

lim x → 0 + f ( x ) = lim x → 0 + 2 ⋅ ln x ︷ → - ∞ x ︸ → 0 + = - ∞

lim x → ∞ f ( x ) = lim x → ∞ 2 ⋅ ln x ︷ → ∞ x ︸ → ∞
Schritt einblenden / ausblenden
= lim x → ∞ 2 ⋅ 1 x 1

= lim x → ∞ 2 x = 0 +

Wegen der Punktsymmetrie folgt:

lim x → 0 - f ( x ) = ∞

lim x → - ∞ f ( x ) = 0 -

Bemerkung:

0 + bedeutet, dass man sich der Null aus dem Positiven nähert.
Man sagt auch: "sich von rechts nähern".

0 - bedeutet, dass man sich der Null aus dem Negativen nähert.
Man sagt auch: "sich von links nähern".