Lösung Abitur 2008 Mathematik LK Infinitesimalrechnung (I)

Betrachtet wird die Funktion ${\displaystyle K}$ mit dem Term ${\displaystyle K(v)=\frac{v}{\frac{v^2}{2a}+tv+s}}$, und den positiven Parametern ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle t}$ und ${\displaystyle s}$.
${\displaystyle K}$ beschreibt in einem idealisierten Modell die sogenannte Kapazität einspuriger Straßen, das ist die Anzahl der Fahrzeuge, die bei genauer Einhaltung des Sicherheitsabstandes pro Zeiteinheit eine bestimmte Stelle passieren können. In diesem Modell wird vereinfachend angenommen, dass alle Fahrzeuge mit der gleichen Geschwindigkeit ${\displaystyle v}$ fahren und außerdem die Parameter ${\displaystyle a}$ (Bremsverzögerung), ${\displaystyle t}$ (Reaktionszeit des Fahrers) und ${\displaystyle s}$ (Fahrzeuglänge) für alle Fahrzeuge der Kolonne gleich sind.

Bestimmen Sie die Grenzwerte von ${\displaystyle K(v)}$ für ${\displaystyle v\to 0}$ und ${\displaystyle v\to \infty }$.