Lösung Abitur 2008 Mathematik LK Infinitesimalrechnung (II)

Teilaufgabe 1b

Zeigen Sie, dass gilt:

f^{''} (x) = (x^{2} - 1)^{\cdot} e^{1 - 0, 5 x^{2}}

.
Bestimmen Sie durch Rechnung das Monotonieverhalten von

f

und die Koordinaten der Wendepunkte.

Lösung zu Teilaufgabe 1b

Erste und zweite Ableitung einer Funktion ermitteln

Erste Ableitung bilden:

f^{'} (x) = {(e^{1 - 0, 5 x^{2}})}^{'} =

Kettenregel der Differenzialrechnung

f (x) = g (h (x)) \Rightarrow f^{'} (x) = g^{'} (h (x)) \cdot h^{'} (x)

{(e^{g (x)})}^{'} = e^{g (x)} \cdot g^{'} (x)

= (- x) \cdot e^{1 - 0, 5 x^{2}}

Zweite Ableitung bilden:

f

^{''} (x) = {(e^{1 - 0, 5 x^{2}})}^{''} = {((- x) \cdot e^{1 - 0, 5 x^{2}})}^{'} =

Produktregel der Differenzialrechnung

f (x) = g (x) \cdot h (x) \Rightarrow f^{'} (x) = g^{'} (x) \cdot h (x) + g (x) \cdot h^{'} (x)

= (- 1) \cdot e^{1 - 0, 5 x^{2}} + (- x) \cdot {(e^{1 - 0, 5 x^{2}})}^{'} =

Kettenregel der Differenzialrechnung

f (x) = g (h (x)) \Rightarrow f^{'} (x) = g^{'} (h (x)) \cdot h^{'} (x)

{(e^{g (x)})}^{'} = e^{g (x)} \cdot g^{'} (x)

= (- 1) \cdot e^{1 - 0, 5 x^{2}} + (- x) \cdot (- x) \cdot e^{1 - 0, 5 x^{2}} =

= - e^{1 - 0, 5 x^{2}} + x^{2} \cdot e^{1 - 0, 5 x^{2}} =

= (x^{2} - 1) \cdot e^{1 - 0, 5 x^{2}} =

Monotonieverhalten einer Funktion

Erste Ableitung untersuchen:

f^{'} (x) > 0

f^{'} (x) = (- x) \cdot \underset{> 0}{\underset{︸}{e^{1 - 0, 5 x^{2}}}} > 0

\Rightarrow f^{'} (x) > 0

für

x < 0

\Rightarrow f^{'} (x) < 0

für

x > 0

f

ist eine stetige Funktion.

\Rightarrow f

ist streng monoton wachsend für

x < 0

\Rightarrow f

ist streng monoton fallend für

x > 0

Wendepunkt ermitteln

Zweite Ableitung Null setzen:

f^{''} (x) = (x^{2} - 1) \cdot \underset{> 0}{\underset{︸}{e^{1 - 0, 5 x^{2}}}} = 0

\Rightarrow x^{2} - 1 = 0

\Rightarrow x^{2} = 1

\Rightarrow x_{1, 2}^{W} = \pm 1

Wendepunkte bestimmen:

f (x_{1}^{W}) = f (1) = e^{1 - 0, 5 \cdot 1^{2}} = e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e}

f (x_{2}^{W}) = f (- 1) = e^{1 - 0, 5 \cdot (- 1)^{2}} = e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e}

Die gesuchten Wendepunkte sind:

W_{1} (1 | \sqrt{e})

und

W_{2} (- 1 | \sqrt{e})

Diese Abituraufgabe

Angabe: 2008 Mathematik LK Infinitesimalrechnung (II)

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Erste und zweite Ableitung einer Funktion ermitteln

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