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Lösung Abitur 2008 Mathematik LK Stochastik (III)

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 5b

Im letzten Monat waren die TIME-Kunden durchschnittlich 27,5 Stunden im Internet, wobei deren Nutzungsdauer normalverteilt ist.

4 %

dieser Kunden wären im letzten Monat mit dem Tarif FLAT günstiger gefahren. Bestimmen Sie die zugehörige Standardabweichung der Zufallsgröße "Nutzungsdauer eines TIME-Kunden".

Lösung zu Teilaufgabe 5b

Erwartungswert und Standardabweichung

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T

bezeichne die normalverteilte Zufallsgröße "Nutzungsdauer eines TIME-Kunden".

Erläuterung

Aus der Rechnung von Teilaufgabe 5a folgt:

Ein TIME-Kunde hat höhere Kosten im Gegensatz zum FLAT-Kunden ab einer Nutzungsdauer von über 37 Stunden.

\Rightarrow T > 37

P (T > 37) = 0, 04

\Leftrightarrow 1 - P (T \leq 37) = 0, 04

Normalverteilung

Ist die Zufallsgröße

Z

normalverteilt, dann gilt folgende Aussage:

P (Z \leq k) = Φ (\frac{k - μ}{σ})

Man beachte den Unterschied zur Normalverteilung als Näherung einer Binomialverteilung: die bekannte Stetigkeitskorrektur von 0,5 kommt nicht vor.

\Leftrightarrow 1 - Φ (\frac{37 - μ}{σ}) = 0, 04

Erläuterung

Aus dem Text der Angabe geht hervor, dass die TIME-Kunden durchschnittlich 27,5 Stunden im Monat im Internet sind.

\Rightarrow μ = 27, 5

\Leftrightarrow 1 - Φ (\frac{37 - 27, 5}{σ}) = 0, 04

\Leftrightarrow Φ (\frac{9, 5}{σ}) = 0, 96

Stochstisches Tafelwerk

Den Quantilen des stochastischen Tafelwerks entnimmt man:

0, 96 = Φ (1, 76)

\Leftrightarrow Φ (\frac{9, 5}{σ}) = Φ (1, 76)

Stetigkeit einer Funktion

Φ (X)

ist stetig und streng monoton wachsend:

Φ (a) \geq Φ (b) \Rightarrow a \geq b

\Rightarrow \frac{9, 5}{σ} = 1, 76

\Rightarrow σ = \frac{9, 5}{1, 76} \approx 5, 4

Die gesuchte Standardabweichung ist gleich 5,4.

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Angabe: 2008 Mathematik LK Stochastik (III)

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