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Lösung Abitur 2008 Mathematik LK Stochastik (IV)

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Teilaufgabe 2a

 
In dem Molkereibetrieb werden täglich gleich viele Becher der Sorten Erdbeere, Kirsche, Heidelbeere und Ananas abgefüllt. Für jede Sorte gibt es eine eigene Abfüllmaschine.
Bei einer Tagesproduktion, bei der erneut insgesamt 4 % der Becher einen defekten Deckel aufweisen, fällt auf, dass unter den Erdbeerjoghurtbechern sogar jeder zehnte Deckel fehlerhaft ist.
Bestimmen Sie den Anteil der Becher mit defektem Deckel unter allen Bechern, die keinen Erdbeerjoghurt enthalten.
Klären Sie, ob es durch Absenken des Ausschussanteils allein beim Erdbeerjoghurt gelingen kann, den zugesicherten Qualitätsstandard von insgesamt höchstens 1 % Ausschussanteil wieder einzuhalten.
 
Lösung zu Teilaufgabe 2a

Wahrscheinlichkeit


E : "Erbeerjoghurtbecher"

E ¯ : "Joghurtbecher einer anderen Sorte"

D : "Defekter Deckel"

P ( E ) = 1 4

P ( E ¯ ) = 1 - P ( E ) = 3 4

P ( E D ) = P E ( D ) = 1 10

P ( E D ¯ ) = P E ( D ¯ ) = 1 - P E ( D ) = 1 - 1 10 = 9 10

P ( D ) = 0 , 04

Gesucht wird P ( E ¯ D ) = x

Aus diesen Daten kann folgendes Baumdiagramm erstellt werden:
Es gilt:

0 , 04 = P ( D ) = P ( E ∩ D ) + P ( E ¯ ∩ D )

= P ( E ) ⋅ P ( E D ) + P ( E ¯ ) ⋅ P ( E ¯ D )

= 1 4 ⋅ 1 10 + 3 4 x

= 1 40 + 3 4 x

⇒ x = 0 , 04 - 1 40 3 4

⇒ x = 0 , 02

2 % der Becher die keinen Erbeerjoghurt enthalten haben einen defekten Deckel.
Anwendungszusammenhang


Absenken des Ausschussanteils beim Erdbeerjoghurt auf 0: P ( E D ) = 0

Es soll gelten: P ( D ) ≤ 0 , 01

⇒ P ( D ) = 1 4 ⋅ 0 + 3 4 ⋅ 0 , 02 ≤ 0 , 01

= 0 , 015 ≤ 0 , 01

⇒ Widerspruch!

Selbst wenn der Ausschussanteil bei den Erdbeerjoghurtbechern auf 0 sinken würde, hätten insgesamt noch 1 , 5 % aller Becher einen defekten Deckel.

Dazu passend bei OnlineMathe.de