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Abitur 2009 Mathematik GK Analytische Geometrie (VI)
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte und sowie die Ebene
gegeben.
gegeben.
(6 BE)
und legen die Ebene fest. Bestimmen Sie je eine Gleichung der Ebene in Parameterform sowie in Normalenform.
[mögliches Teilergebnis: ]
[mögliches Teilergebnis: ]
(6 BE)
Bestätigen Sie, dass die Gerade mit die Schnittgerade der Ebenen und ist, und begründen Sie, dass in der -Koordinatenebene liegt.
(4 BE)
Zeigen Sie, dass die Punkte und auf der Geraden liegen und dass die Punkte beziehungsweise die Schnittpunkte der Ebene beziehungsweise der Ebene mit der -Achse sind.
(4 BE)
| Zeichnen Sie die Punkte und sowie die Gerade in ein Koordinatensystem (vgl. Skizze) ein und veranschaulichen Sie die Lage der Ebenen und durch Einzeichnen ihrer Spurgeraden. |  |
In einem Geländemodell liegen die Hänge eines Bergrückens in den Ebenen und . Der Grat dieses Bergrückens wird von einem Teil der Geraden gebildet. Die -Achse zeigt in Südrichtung, die -Achse in Ostrichtung. Vom Punkt aus wird horizontal ein Tunnel in Ostrichtung durch den Berg bis zur Ebene gebohrt.
(7 BE)
Berechnen Sie die Länge des Tunnels im Geländemodell.
(6 BE)
Vom Punkt der Geraden soll in der Ebene eine geradlinige Zufahrtsstraße zum Tunneleingang angelegt werden.
Berechnen Sie die Koordinaten von und begründen Sie, dass diese Zufahrt zum Tunneleingang bergauf und genau von Westen nach Osten verläuft.
Berechnen Sie die Koordinaten von und begründen Sie, dass diese Zufahrt zum Tunneleingang bergauf und genau von Westen nach Osten verläuft.
(7 BE)
Berechnen Sie für diese Zufahrtsstraße von nach den Neigungswinkel gegen die Horizontale. Beschreiben Sie mit kurzer Begründung, in welchem Punkt der Strecke die steilstmögliche geradlinige Zufahrtsstraße zum Tunneleingang beginnen würde.
(Hinweis: Die Koordinaten von müssen nicht berechnet werden.)
(Hinweis: Die Koordinaten von müssen nicht berechnet werden.)
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