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Lösung Abitur 2009 Mathematik GK Analytische Geometrie (VI)

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Teilaufgabe 2b

 
Vom Punkt P ( 2 | p 2 | p 3 ) der Geraden T R soll in der Ebene E eine geradlinige Zufahrtsstraße zum Tunneleingang B angelegt werden.
Berechnen Sie die Koordinaten von P und begründen Sie, dass diese Zufahrt zum Tunneleingang B bergauf und genau von Westen nach Osten verläuft.
 
Lösung zu Teilaufgabe 2b

Geradengleichung


T ( 0 | - 8 | 0 )

R ( 4 | 0 | 0 )

Richtungsvektor b ⃗ bestimmen:
T R ⃗ = O R ⃗ - O T ⃗ = ( 4 0 0 ) - ( 0 - 8 0 ) = ( 4 8 0 )
Schritt einblenden / ausblenden
⇒ b ⃗ = 1 4 ⋅ T R ⃗ = 1 4 ⋅ ( 4 8 0 ) = ( 1 2 0 )
Geradengleichung T R :

T R : x ⃗ = ( 4 0 0 ) + ρ ⋅ ( 1 2 0 )
Lage des Punktes


P ( 2 | p 2 | p 3 )

Koordinaten des Punktes P bestimmen:
Schritt einblenden / ausblenden
( 2 p 2 p 3 ) = ( 4 0 0 ) + ρ ⋅ ( 1 2 0 ) ⇔ ( I ) ( I I ) ( I I I ) 2 = 4 + ρ p 2 = 2 p p 3 = 0

Aus Gleichung (I) folgt: ρ = - 2

ρ = - 2 eingesetzt in Gleichung (II) ergibt: p 2 = - 4

Gleichung (III) legt fest: p 3 = 0

⇒ P ( 2 | - 4 | 0 )
Lage des Vektors


B ( 2 | - 2 | 0 , 5 )

P B ⃗ = O B ⃗ - O P ⃗ = ( 2 - 2 0 , 5 ) - ( 2 - 4 0 ) = ( 0 2 0 , 5 )

Die Zufahrt P B ⃗ zum Tunneleingang B verläuft bergauf, da die x 3 -Koordinate ( = 0 , 5 ) positiv ist, und von Westen nach Osten, da die x 1 -Koordinate Null und die x 2 -Koordinate ( = 2 ) positiv ist.

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