Lösung Abitur 2009 Mathematik GK Analytische Geometrie (VI)

Teilaufgabe 2c

Berechnen Sie für diese Zufahrtsstraße von

P

nach

B

den Neigungswinkel

α

gegen die Horizontale. Beschreiben Sie mit kurzer Begründung, in welchem Punkt

L

der Strecke

[T R]

die steilstmögliche geradlinige Zufahrtsstraße zum Tunneleingang

B

beginnen würde.

(Hinweis: Die Koordinaten von

L

müssen nicht berechnet werden.)

Lösung zu Teilaufgabe 2c

Winkel zwischen zwei Vektoren

\vec{P B} = (\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 0, 5 \end{matrix})

\vec{e_{2}} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

(Richtungsvektor der Horizontale)

Länge der Vektoren bestimmen:

Betrag eines Vektors

Die Länge (bzw. Betrag)

| \vec{a} |

eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

ist gegeben durch:

| \vec{a} | = \sqrt{{(\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}

| \vec{P B} | = \sqrt{{(\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 0, 5 \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{0^{2} + 2^{2} + 0, 5^{2}} = \sqrt{4, 25}

| \vec{e_{2}} | = \sqrt{{(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{0^{2} + 1^{2} + 0^{2}} = 1

Neigungswinkel

α

bestimmen:

Skalarprodukt

Aus der allgemeinen Definition des Skalarproduktes zweier Vektoren

\vec{a}

und

\vec{b}

\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot cos \underset{α}{\underset{︸}{∡ (\vec{a}, \vec{b})}}

folgt für den Winkel

α

zwischen den beiden Vektoren:

cos α = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |}

cos α = \frac{(\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 0, 5 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})}{\sqrt{4, 25} \cdot 1} = \frac{2}{\sqrt{4, 25}}

\Rightarrow α = arccos (\frac{2}{\sqrt{4, 25}}) = 14, 04^{\circ}

Lotfußpunkt

Die steilstmögliche Zufahrt ist auch die kürzeste, d. h.,

L

ist der Fußpunkt des Lots von

B

auf

T R

Diese Abituraufgabe

Angabe: 2009 Mathematik GK Analytische Geometrie (VI)

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Teilaufgabe 1a

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Winkel zwischen zwei Vektoren

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