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Abitur 2009 Mathematik GK Infinitesimalrechnung (I)
Die Abbildung zeigt den Graphen einer ganzrationalen Funktion dritten Grades mit dem Definitionsbereich . Die in der Abbildung angegebenen Punkte und sind Punkte von .
(5 BE)
Geben Sie den Funktionsterm von in der Form an, indem Sie passende Werte für ermitteln. Zeigen Sie, dass sich dieser in der Form schreiben lässt.
(6 BE)
Weisen Sie nach, dass Wendepunkt von ist, und ermitteln Sie die Gleichung der zugehörigen Wendetangente.
[Zur Kontrolle: Tangentengleichung ]
[Zur Kontrolle: Tangentengleichung ]
(4 BE)
Die Wendetangente schließt mit den Koordinatenachsen ein Dreieck ein. Bestimmen Sie die Innenwinkel dieses Dreiecks.
Betrachtet wird nun die Integralfunktion mit .
(8 BE)
Berechnen Sie . Was folgt daraus für die beiden Flächenstücke, die der Graph mit der -Achse im I. und im IV. Quadranten einschließt? Begründen Sie Ihre Antwort. Bestimmen Sie nun die Summe der Inhalte dieser beiden Flächenstücke.
(4 BE)
Einer der drei abgebildeten Graphen I, II oder III stellt den Graphen von dar. Geben Sie an, welcher dies ist, und begründen Sie Ihre Antwort, indem Sie erklären, warum die beiden anderen Graphen nicht in Betracht kommen.
(3 BE)
Bekanntlich ist jede Integralfunktion der Funktion auch Stammfunktion von . Begründen Sie, dass jede Integralfunktion mindestens eine Nullstelle hat. Geben Sie den Term einer Stammfunktion von an, die keine Integralfunktion von ist.
In der Medizin wird radioaktives Jod-123 zur Untersuchung der Schilddrüse eingesetzt. Kurze Zeit nach der Verabreichung dieser Substanz an den Patienten wird die von der Substanz ausgehende Strahlung gemessen, wodurch Rückschlüsse auf den Zustand der Schilddrüse möglich sind.
Durch radioaktiven Zerfall verringert sich die Substanzmasse.
Die im Körper des Patienten noch vorhandene Masse des verabreichten Jod-123 lässt sich durch den Term mit beschreiben. Dabei gibt die zum Zeitpunkt verabreichte Jodmasse an; ist die Maßzahl der seit Verabreichung vergangenen Zeit in Stunden.
Durch radioaktiven Zerfall verringert sich die Substanzmasse.
Die im Körper des Patienten noch vorhandene Masse des verabreichten Jod-123 lässt sich durch den Term mit beschreiben. Dabei gibt die zum Zeitpunkt verabreichte Jodmasse an; ist die Maßzahl der seit Verabreichung vergangenen Zeit in Stunden.
(4 BE)
Nach einer Zeit von 13,2 Stunden ist nur noch die Hälfte der verabreichten Jodmasse vorhanden. Bestimmen Sie hieraus den Wert des Parameters .
[Zur Kontrolle: ]
[Zur Kontrolle: ]
(6 BE)
Wie viel Prozent der verabreichten Jodmasse sind vier Stunden nach Verabreichung im Körper des Patienten noch vorhanden? Wie lange dauert es, bis der verabreichten Jodmasse zerfallen sind?
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