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Lösung Abitur 2009 Mathematik GK Stochastik (IV)

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 3b

Wie viele Personen müssen mindestens zufällig ausgewählt werden, damit sich mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als

99 %

wenigstens ein Befürworter darunter befindet?

Lösung zu Teilaufgabe 3b

Binomialverteilung

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Treffer = "Person ist Befürworter"

p = P (Treffer) = 0, 67

q = 1 - p = 1 - 0, 67 = 0, 33

P_{S} = 99 % = 0, 99

(Sicherheitswahrscheinlichkeit)

Es soll gelten:

Gegenereignis

Ansatz:

Betrachtung des Gegenereignisses:

P (mindestens k Treffer) = 1 - P (weniger als k Treffer)

In mathematischen Zeichen:

P (Z \geq k) = 1 - P (Z < k)

Angewendet auf die Aufgabenstellung:

P (wenigstens ein Befürworter) = 1 - P (weniger als ein Befürworter)

Da "weniger als ein Befürworter" nichts anderes bedeutet als "kein Befürworter", kann geschrieben werden:

P (wenigstens ein Befürworter) = 1 - P (kein Befürworter)

In mathematischen Zeichen:

P (Z \geq 1) = 1 - P (Z = 0)

Laut Aufgabenstellung soll diese Wahrscheinlichkeit mehr als

P_{S} = 99 %

betragen, also soll gelten:

P (Z \geq 1) = 1 - P (Z = 0) > P_{S}

P (Z \geq 1) = 1 - P (Z = 0) > P_{S}

Binomialverteilung für n Versuche

Allgemein gilt:

B (n; p; k) = P_{p}^{n} (Z = k) = (\binom{n}{k}) \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k}

Dabei ist

n =

Anzahl der Versuche

k =

Anzahl der Treffer

p =

Wahrscheinlichkeit eines Treffers

1 - p =

Wahrscheinlichkeit einer Niete

Somit vereinfacht sich der Ausdruck

1 - P (Z = 0)

in:

1 - P_{p}^{n} (Z = 0) = 1 - \underset{= 1}{\underset{︸}{(\binom{n}{0})}} \cdot \underset{= 1}{\underset{︸}{p^{0}}} \cdot (\underset{= q}{\underset{︸}{1 - p}})^{n - 0} = 1 - q^{n}

\Leftrightarrow 1 - q^{n} > P_{S}

\Leftrightarrow 1 - 0, 33^{n} > 0, 99

Erläuterung

Die Ungleichung

1 - q^{n} > P_{S}

hat als Lösung

n > \frac{ln (1 - P_{S})}{ln (q)}

Schritt für Schritt löst man die Ungleichung folgendermaßen nach

n

auf :

1 - q^{n} > P_{S} | + (q^{n} - P_{S})

1 - P_{S} > q^{n} |

logarithmieren

ln (1 - P_{S}) > ln (q^{n})

Nach dem Logarithmusgesetz

ln (a^{b}) = b \cdot ln (a)

vereinfacht sich obige Ungleichung:

ln (1 - P_{S}) > n \cdot ln (q) | : ln (q)

ln (q)

eine negative Zahl ist, dreht sich das Ungleichzeichen um:

\frac{ln (1 - P_{S})}{ln (q)} < n

\Rightarrow n > \frac{ln (1 - 0, 99)}{ln (0, 33)} = \frac{ln (0, 01)}{ln (0, 33)} = 4, 15

n > 4, 15 \Rightarrow n \geq 5

\Rightarrow

Es müssen mindestens 5 Personen zufällig ausgewählt werden.

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