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3 Waagen / 12 Gewichte - Kombinatorik

Sonstiges

Tags: Gewichte, Kombinatorik, Waage

Edddi aktiv_icon

14:29 Uhr, 16.12.2008

...hab' hier vor Kurzem eine schöne Aufgabe gelesen, leider ist sie irgendwie verschwunden...

Man habe 3 Pendelwaagen, welche man jeweils nur einmal benutzen darf.

Des Weiteren existieren

12

Gewichte, von denen ein Gewicht etwas schwerer oder leichter ist als die anderen.
Heißt: die restlichen

11

Gewichte sind gleich schwer.

Wie findet man nun das eine abweichende Gewicht mit den 3 Wägungen heraus?

Wollte gerade einen Lösungsvorschlag posten, da war die Frage weg.

Wer hat interesse an dieser Aufgabe???

:-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Gemischte Aufgaben der Kombinatorik
Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und mit Zurücklegen
Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und ohne Zurücklegen
Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

Bauerbart aktiv_icon

14:43 Uhr, 16.12.2008

vieleicht ist die Aufgabe weg, weil ich sie gestern beantwortet hab, allerdings nicht vollständig.

Kannst du mal deinen Ansatz schreiben? Würde gerne wissen wie man die Aufgabe ganz löst.

Bei meinem Weg gab es 2 Situationen in denen ich das entsprechende Gewicht nicht identifizieren konnte.

GreenSurfer aktiv_icon

14:45 Uhr, 16.12.2008

Hallo,

je 4 Kugeln auf die 3 Waagen.

(1)

kein Ausschlag: je 1 der verbliebenen 4 Kugeln auf die 3 Waagen

(1.1)

kein Ausschlag : verbliebene Kugel ist die gesuchte

(1.2)

Ausschlag: Bingo

(2)

Auschlag: je 1 der 4 Kugeln vom Ausschlag auf die 3 Waagen

weiter: siehe

(1.1)

und

(1.2)

Gruß

Bauerbart aktiv_icon

14:48 Uhr, 16.12.2008

So einfach geht das. Mein Ansatz war wesentlich unpraktischer: www.onlinemathe.de/forum/Warscheindlichkeit-letze-Aufgabe

Außerdem konnte ich da wie gesagt nicht in jedem Fall das Gewicht rausfinden.

passion aktiv_icon

14:57 Uhr, 16.12.2008

das rätsel hatte ich auch gelesen

,2

war damals die lösung (so ein ähnliches)

Edddi aktiv_icon

15:09 Uhr, 16.12.2008

Ansatz von GreenSurfer sieht so schoen kurz aus, aber ich versteh' ihn nicht ganz.
Wenn er je 4 Gewichte auf die 3 Waagen pakt, ist's doch schon vorbei mit den 3 Wägungen.
Wie sieht man jetzt das eine abweichende Gewicht.
Eine Waage kann doch nur ausschlagen und da liegen doch 4 Gewichte drauf...Und ist auf einer Seite ein leichters oder auf der anderen Seite das schwerere?
Vielleicht hab' ich es nur nicht richtig verstanden.

Ich glaube, der wichtigste Fakt bei dieser Aufgabe ist, das wir 3 Waagen haben und nicht 3 Wägungen auf einer Waage machen müssen.

Ich verwende mal die Bezeichnung Gewicht-A für das abweichende Gewicht.

1. Man packe von den

12

Gewichten nur 6 Stück (jeweils 3 auf jeden Teller) auf die Pendelwaage.

Sind beide Seiten gleich schwer, so befindet sich Gewicht-A unter den restlichen 6 Stück.
Zeigt die Waage Gewichtsunterschied an, so befindet sich Gewicht-A auf der Waage.

Mit der 1. Messung können wir das Gewicht-A auf 6 Gewichte einschränken.

2. Von diesen 6 Stück packen wir 4 Stück auf die 2. Waage.

Sind beide Seiten gleich schwer, so befindet sich Gewicht-A unter den restlichen 2 Stück. Weiter bei

5 .

Zeigt die Waage Gewichtsunterschied an, so befindet sich Gewicht-A auf der Waage. Weiter bei

6 .

4. Von den restlichen 6 Stück packen wir 4 Stück auf die 2. Waage.

Sind beide Seiten gleich schwer, so befindet sich Gewicht-A unter den restlichen 2 Stück. Weiter bei

5 .

Zeigt die Waage Gewichtsunterschied an, so befindet sich Gewicht-A auf der Waage. Weiter bei

6 .

5. Von den restlichen 2 Stück nehmen wir 1 Stück mit auf die 3. Waage. Des Weiteren benötigen wir eins der gewägten Gewichte
(diese waren ja bisher immer gleichschwer, also handelt es sich dabei nicht um Gewicht-A)

Sind beide gleich schwer handelt es sich bei dem verbliebenen Stück um Gewicht-A
Zeigt die Waage Gewichtsunterschied an, so handelt es sich bei dem einen Stück, welches wir zuerst raufgepakt haben um Gewicht-A.
***Ende***

6. Man nehme von jedem Wägeteller ein Gewicht runter.

Bleibt die Waage im Gleichgewicht (wir haben jetzt 2 Gewichte, unter anderem Gewicht-A runtergenommen)
dann wägen wir eines dieser Gewichte mit einem vorher gewägten Gewicht.

Sind beide gleich schwer handelt es sich bei dem verbliebenen Stück um Gewicht-A
Zeigt die Waage Gewichtsunterschied an, so handelt es sich bei dem einen Stück, welches wir in der Hand hatten um Gewicht-A.
***Ende***

GreenSurfer aktiv_icon

15:31 Uhr, 16.12.2008

Sorry, ich hatte das kleine Detail

- 3

Pendelwaagen mit jeweils einer Wägung - übersehen :-).

Dennoch lässt sich das Ganze nach meinem Dafürhalten wesentlich einfacher gestalten:

Waage 1: Jeweils 4 Kugeln

(4

verbleiben)

(1)

Ausschlag:

\to

jeweils 2 der ausgeschlagenen Seite auf die Schalen von Waage 2

\to

Ausschlag ist definitiv

\to

je 1 Kugel in die Schalen von Waage 3

(2)

kein Ausschlag: verfahre mit den verbliebenen Kugeln, unter denen sich besagte Kugel befinden muss wie in den Schritten bei

(1)

.

Ende

Edddi aktiv_icon

15:34 Uhr, 16.12.2008

...wenn du zum Schluss je eine Kugel im Teller der 3. Waage hast, und diese ausschlägt, woher weiss man denn welche der beiden Kugeln die mit dem abweichenden Gewicht ist?

Es könnte ja

z . B

. links das leichtere oder rechts das schwerere Gewicht sein.

:-)

GreenSurfer aktiv_icon

15:39 Uhr, 16.12.2008

. .

GreenSurfer aktiv_icon

15:40 Uhr, 16.12.2008

Hast Recht, ich war von einer schwereren Kugel ausgegangen...

GreenSurfer aktiv_icon

15:49 Uhr, 16.12.2008

Aber: Man könnte durch Austauschen einer der beiden Schalen durch eine ausgesonderte Kugel die gesuchte Kugel ausfindig machen:
Ob der Ausschlag bleibt oder nicht, wir haben die Kugel :-)

Edddi aktiv_icon

15:57 Uhr, 16.12.2008

...Schlitzohr!...frei nach dem Motto: was nicht explizit verboten wurde ist erlaubt, was?

Ich bleibe dann wohl bei meinem Auswahlverfahren...ist zwar etwas kompliziert aber funktioniert...

...bis dann

:-)

GreenSurfer aktiv_icon

16:06 Uhr, 16.12.2008

Was sollte daran verboten sein?!?
Aber wir erreichen ja beide (irgendwann) das Ziel ;-)

m-at-he

22:48 Uhr, 18.12.2008

Hallo,

wir haben beim Wiegen für eine bestimmte Schale genau 3 Möglichkeiten, sie ist schwerer, sie ist leichter oder sie ist gleichschwer. Das führt zu einer Überlegung, die

12

Kugeln im 3-er Zahlensystem zu betrachten:

1 = 001

2 = 002

3 = 010

4 = 011

5 = 012

6 = 020

7 = 021

8 = 022

9 = 100

10 = 101

11 = 102

12 = 110

Mit dieser Darstellung lassen sich die Zahlen nach folgenden Regeln:

- 2

an der "Einerstelle": substituiere an der "Einerstelle" die 2 durch

3 - 1

- Stand bei dieser Sustituion bereits eine 1 an der "Dreierstelle", ist dort jetzt die 2 anzunehmen! Das trifft nur auf die 5 zu!
- Stand bei dieser Sustituion bereits eine 2 an der "Dreierstelle", ist dort jetzt die 0 und an der "Neunerstelle" die 1 anzunehmen! Das trifft nur auf die 8 zu!

- 2

an der "Dreierstelle": substituiere an der "Dreierstelle" die 2 durch

9 - 3

auch leicht so darstellen:

1 = 1

2 = 3 - 1

3 = 3

4 = 3 + 1

5 = 9 - 3 - 1

6 = 9 - 3

7 = 9 - 3 + 1

8 = 9 - 1

9 = 9

10 = 9 + 1

11 = 9 + 3 - 1

12 = 9 + 3

Was sieht man? Die 9 taucht 8 Mal auf

(8 = \frac{2}{3}

von

12!!!),

die 3 taucht (ob nun positiv oder negativ) ebenfalls 8 Mal auf und die 1 (ob nun positiv und negativ) ebenfalls 8 Mal. Gibt es nun eine Möglichkeit, einzelne Zahlen so geschickt zu negieren, daß man am Ende jeweils 4 Mal

(4 = \frac{1}{3}

von

12!!!)

die 9 und die

- 9,

jeweils 4 Mal die 3 und die

- 3

und jeweils 4 Mal die 1 und die

- 1

erhält? Ja, gibt es! Man muß genau 4 Zahlen aus

{5, . .

12}

negieren. Dabei muß man beachten, daß bei den 3-en ein Überschuß an positiven 3-en

(5

Stück) gegenüber negativen

(3

Stück) besteht. Wenn man beim Negieren gleich aus einer 3 mehr eine

- 3

machen will als aus einer

- 3

eine 3 und man bei den 1-en möglichst gleichmäßig ändern will (nicht mehr als eine 1 oder

- 1

mehr negieren), dann eignen sich die Zahlen

8, 9, 10,

und

11

am besten. Bei dieser Lösung wird aus zwei der

- 1

eine 1 und aus einer 1 eine

- 1,

so daß dort ein ein Ungleichgewicht entsteht, das man durch die Negation der 1 wieder korrigieren kann. Das ergibt als Lösung:

- 1 = - 1

2 = 3 - 1

3 = 3

4 = 3 + 1

5 = 9 - 3 - 1

6 = 9 - 3

7 = 9 - 3 + 1

- 8 = - 9 + 1

- 9 = - 9

- 10 = - 9 - 1

- 11 = - 9 - 3 + 1

12 = 9 + 3

Jetzt gruppieren wir mal die Zahlen in Teilmengen nach dem Prinzip:

hat die 9 positiv:

M_{9, +} = {5,6,7,12}

hat die 9 negativ:

M_{9, -} = {- 8, - 9, - 10, - 11}

hat die 9 nicht:

M_{9, o} = {1,2,3,4}

Das ist eine vollständige Zerlegung unserer Zahlen in 3 gleichmächtige Mengen!!!

hat die 3 positiv:

M_{3, +} = {2,3,4,12}

hat die 3 negativ:

M_{3, -} = {5,6,7, - 11}

hat die 3 nicht:

M_{3, o} = {1, - 8, - 9, - 10}

Das ist eine vollständige Zerlegung unserer Zahlen in 3 gleichmächtige Mengen!!!

hat die 1 positiv:

M_{1, +} = {4,7, - 8, - 11}

hat die 1 negativ:

M_{1, -} = {- 1,2,5, - 10}

hat die 1 nicht:

M_{1, o} = {3,6, - 9,12}

Das ist eine vollständige Zerlegung unserer Zahlen in 3 gleichmächtige Mengen!!!

Kann man dies für 3 Wägungen hernehmen? Ja, man muß alle Kugeln einmalig "durchnumerieren" mit den gegebenen Zahlen

{- 1,2,3,4,5,6,7, - 8, - 9, - 10, - 11,12}

und man führt folgende 3 Wägungen durch:

1. Wägung:

M_{9, +}

mit

M_{9, -}

Ist die Wagschale mit den Kugeln aus

M_{9, +}

schwerer, notiert man sich eine

9 .

Ist die Wagschale mit den Kugeln aus

M_{9, -}

schwerer, notiert man sich eine

- 9 .

Sind beide Wagschalen gleichschwerer, notiert man sich eine

0 .

2. Wägung:

M_{3, +}

mit

M_{3, -}

Ist die Wagschale mit den Kugeln aus

M_{3, +}

schwerer, notiert man sich eine

3 .

Ist die Wagschale mit den Kugeln aus

M_{3, -}

schwerer, notiert man sich eine

- 3 .

Sind beide Wagschalen gleichschwerer, notiert man sich eine

0 .

3. Wägung:

M_{1, +}

mit

M_{1, -}

Ist die Wagschale mit den Kugeln aus

M_{1, +}

schwerer, notiert man sich eine

1 .

Ist die Wagschale mit den Kugeln aus

M_{1,0}

schwerer, notiert man sich eine

- 1 .

Sind beide Wagschalen gleichschwerer, notiert man sich eine

0 .

Am Ende addiert man die 3 notierten Zahlen!

Welche Ergebnisse erhält man in den Fällen, daß die gesuchte Kugel schwerer ist?

- 1

schwerer:

0 + 0 + (- 1) = - 1

2 schwerer:

0 + 3 + (- 1) = 2

3 schwerer:

0 + 3 + 0 = 3

4 schwerer:

0 + 3 + 1 = 4

5 schwerer:

9 + (- 3) + (- 1) = 5

6 schwerer:

9 + (- 3) + 0 = 6

7 schwerer:

9 + (- 3) + 1 = 7

- 8

schwerer:

(- 9) + 0 + 1 = - 8

- 9

schwerer:

(- 9) + 0 + 0 = - 9

- 10

schwerer:

(- 9) + 0 + (- 1) = - 10

- 11

schwerer:

(- 9) + (- 3) + 1 = - 11

12

schwerer:

9 + 3 + 0 = 12

Und welche Ergebnisse in den Fällen, daß die gesuchte Kugel leichter ist?

- 1

leichter:

0 + 0 + 1 = 1

2 leichter:

0 + (- 3) + 1 = - 2

3 leichter:

0 + (- 3) + 0 = - 3

4 leichter:

0 + (- 3) + (- 1) = - 4

5 leichter:

(- 9) + 3 + 1 = - 5

6 leichter:

(- 9) + 3 + 0 = - 6

7 leichter:

(- 9) + 3 + (- 1) = - 7

- 8

leichter:

9 + 0 + (- 1) = 8

- 9

leichter:

9 + 0 + 0 = 9

- 10

leichter:

9 + 0 + 1 = 10

- 11

leichter:

9 + 3 + (- 1) = 11

12

leichter:

(- 9) + (- 3) + 0 = - 12

Damit liefert dieses Verfahren nicht nur die Kugel, die ein anderes Gewicht hat, es liefert auch in jedem Fall die Information, ob diese Kugel schwerer (Ergebnis der Addition ist gleich der Kugelbezeichnung) oder leichter (Ergebnis der Addition ist gleich der negierten Kugelbezeichnung) ist! Damit liefert dieses Verfahren nicht nur die geforderte Identifizierung der Kugel sondern auch noch Aussage, ob diese Kugel schwerer oder leichter ist.

PS (Nur um dummen Kommentaren oder Nachrichten vorzubeugen):
Ich lehne die hier bisher gegebenen Lösungen nicht ab, weil sie nicht von mir sind, sondern weil sie keine Lösungen im Sinne der Aufgabenstellung darstellen!

Die Lösung von GreenSurfer ist ja bereits von Edddi nicht wirklich als Lösung akzeptiert worden! Da schließe ich mich einfach mal an!

Und in der Lösung von Edddi ist nach der 2. Wägung der Fehler gemacht worden, daß man das Wiegen von 2 Kugelpaaren und das anschließende Wiegen von 2 Kugeln (Zitat: "6. Man nehme von jedem Wägeteller ein Gewicht runter. Bleibt die Waage im Gleichgewicht (wir haben jetzt 2 Gewichte, unter anderem Gewicht-A runtergenommen) dann wägen wir eines dieser Gewichte mit einem vorher gewägten Gewicht.") nicht als das bezeichnet, was es wirklich ist, nämlich 2 Wägungen! Zuerst wird nach dem Runternehmen von 2 Kugeln eine dritte Wägung durchgeführt und dann die von Edddi beschriebene vierte und letzte Wägung. Damit ist auch Edddi als Schlitzohr überführt worden. Denn am Ende werden in diesem Fall 4 Wägungen durchgeführt und das ist laut Originalaufgabenstellung (sie Link von Bauerbart) nicht erlaubt! Wäre ein solches Verhalten erlaubt, könnte man ja viel einfacher so vorgehen:

1. Wägung:
5 Kugeln gegen 5 Kugeln:

Sind beide Wagschalen gleichschwer, ist die schwerere oder leichtere Kugel unter den 2 nicht mitgewogenen Kugeln und man macht mit der 2. Wägung weiter.
Sind beide Wagschalen unterschiedlich schwer, nimmt man aus jeder der beiden Wagschalen jeweils eine Kugel. Verändert sich Ausschlag nicht (es bleibt ungleich schwer) macht man so lange mit dem Entnehmen weiter, bis die letzten 2 Kugeln (jeweils 1 Kugel) entnommen werden (beide Wagschalen sind nun leer). Ändert sich irgendwann der Ausschlag (die gesuchte Kugel ist unter den beiden zuletzt heruntergenommenen), dann hat man soeben 2 Kugeln entnommen, von denen eine die schwerere oder leichtere Kugel ist.

2. Wägung:
Man hat ein Paar Kugeln identifiziert, welches die schwerere oder leichtere Kugel enthält. Die anderen

10

Kugeln sind definitiv gleichschwer. Man nimmt eine der beiden potentiellen Kugeln und vergleicht sie mit einer der

10

definitiv gleichschweren Kugeln und weiß nun, ob es die bei dieser Wägung hergenommene Kugel aus dem Paar ist (bei dieser Wägung wird ungleiches Gewicht angezeigt) oder ob es die andere Kugel aus dem Paar ist (bei dieser Wägung wird gleiches Gewicht angezeigt).

Damit könnte man dieses Problem, die Identifizierung der Kugel, sogar auf 2 Wägungen reduzieren! Warum Edddi seine Auslegung, was eine Wägung ist, nicht so konsequent angewandt hat, daß er nur 2 Wägungen braucht, verstehe ich nicht!

Edddi aktiv_icon

09:58 Uhr, 19.12.2008

Wau...gut gemacht, jetzt hab' ich was zum schmökern.

Es gibt auch kein "dummes Kommentar", denn das ist ein wirklich ein mathematisch gut hergeleiteter Lösungsweg. Wär ich so erstmal nicht drauf gekommen.

Hätte auch gedacht, das es dafür eine ganz einfache Lösung gibt.

Ich stelle mir vor, die Aufgabe steht in einem Rätselheft, da sind die Lösungsantworten je meist nicht immer so lang.

Mit den Wägungen, das stimmt. Da ich die eine Waage nun schon eigentlich für 2 Wägungen nutzte, hätte ich das konsequent durchziehen können.

Es stand ja, glaub' ich, in der ursprünglichen Fassung nur drin, das man die 3 Waagen nur einmal benutzen darf und nicht, das man nur 3 Wägungen machen darf.

Sonst hätte die Aufgabe ja auch lauten können, das nur eine Waage existiert, und man damit nur 3 Wägungen machen darf.

Ich denke, das so ein Haken bei dieser Aufgabe drin war.

Wie auch immer, eine gute Lösung die du da hingezaubert hast...

Aber wenn jemand die originale Lösung dazu hat, dann bitte mal posten, denn ich denke, das m-at-he's Lösungsweg nicht die eines Freizeit-Rätselsportlers ist...

Also, bis dann, und allen ein besinnliches Fest...

:-)

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