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3D Vektorrechnung.

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Tags: Vektorraum

ahmedhos aktiv_icon

00:18 Uhr, 30.03.2010

Ich bin Gerade am Spielen mit der analytischen Geometrie und hab eine Frage diesbezüglich:

Wenn man eine Gerade in

2 D

hat, dann weiß man ziemlich alles schnell und einfach.
Wenn man aber eine Gerade in

3 D

hat, dann wird die Sache ein bisschen komplizierter, da es unendlich viele Normalvektoren existieren und somit steht einem keinen Normalenvektor zur Verfügung um wie bei

2 D

mit der HNF rumzueiern.

Ich wollte wissen, wie man sich den Abstand zweier parallelen Geraden im Raum geschickt mithilfe des Skalarproduktes und des Kreuzproduktes streng mathematisch herleitet?

g_{1} : \vec{x_{1}} = \vec{a} + λ_{1} \cdot \vec{u} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) + λ_{1} \cdot (\begin{matrix} u_{1} \\ u_{2} \\ u_{3} \end{matrix})

g_{2} : \vec{x_{2}} = \vec{b} + λ_{2} \cdot \vec{v} = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}) + λ_{2} \cdot (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}) + λ_{2} \cdot s \cdot (\begin{matrix} u_{1} \\ u_{2} \\ u_{3} \end{matrix})

und alle Zeichen und Buchstaben aus

ℝ!! =)

Danke schön für die Hilfe.

Übrigens ich habe das hier gefunden:
http//www.rither.de/a/mathematik/lineare-algebra-und-analytische-geometrie/abstaende/abstand-punkt-gerade/

Ich habs auch nachvollzogen, aber vielleicht gibts ja alternativen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ahmedhos aktiv_icon

00:38 Uhr, 30.03.2010

Nein Bruder, das ist nicht so einfach. Man sucht den senkrechten Abstand bzw. den kürzesten Abstand.

d_{1} \neq d_{2}

d_{1}

ist gesucht.

Vom Punkt

B

senkrecht auf

g_{1}

wäre auch

d_{1}

.

Ich kann ja eine Hilfsebene, die Durch A oder

B

geht und den Normalenvektor

{\vec{n}}_{E} = \vec{u}

hat.

Schnittpunkt der Ebenen mit der anderen Gerade bestimmen und dann habe ich den senkrechten Abstand. Die Methode erscheint mir sinnvoll, aber gibts auch vielleicht alternativen? Das interessiert mich.

arrow30

00:41 Uhr, 30.03.2010

ok ..jetzt wo ich das Bild gesehen habe.. also wir nehmen einen Punkt auf

g_{2}

es sei

(\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix})

und wir suchen ein

k

so dass folgendes gilt

(\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}) - k \cdot (\begin{matrix} u_{1} \\ u_{2} \\ u_{3} \end{matrix}) ⊥ (\begin{matrix} u_{1} \\ u_{2} \\ u_{3} \end{matrix})

\Leftrightarrow (\begin{matrix} b_{1} - k \cdot u_{1} \\ b_{2} - k \cdot u_{2} \\ b_{3} - k \cdot u_{3} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} u_{1} \\ u_{2} \\ u_{3} \end{matrix}) = 0 \Rightarrow b_{1} \cdot u_{1} - k \cdot u_{1}^{2} + b_{2} \cdot u_{2} - k \cdot u_{2}^{2} + b_{3} \cdot u_{3} - k \cdot u_{3}^{2} \Leftrightarrow k = \frac{{\vec{b}}_{\cdot} \vec{u}}{{| \vec{u} |}^{2}}

anschließend der gesuchte Abstand ist :

| (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}) - k \cdot (\begin{matrix} u_{1} \\ u_{2} \\ u_{3} \end{matrix}) | \Leftrightarrow d = | \vec{b} - \frac{{\vec{b}}_{\cdot} \vec{u}}{{| \vec{u} |}^{2}} \cdot \vec{u} |

CKims aktiv_icon

01:27 Uhr, 30.03.2010

man koennte erstmal

B - A

rechnen. diesen abstandsvektor koennte man dann mit dem normierten richtungsvektor der geraden

g_{2}

skalarmultiplizieren. das ergibt die projektion von abstandsvektor auf die gerade

g_{2}

und zeigt an "wie schief" wir liegen. das ergebnis des skalarprodukts multiplizieren wir mit den normierten richtungsvektor und ziehen das ganze von unseren bisherigen abstandsvektor ab. damit haben wir die schieflage korrigiert und koennen den betrag berechnen.

das waere noch eine moeglichkeit.

lg

ahmedhos aktiv_icon

01:43 Uhr, 30.03.2010

@ arrow

30 :

klingt sinnvoll!

Ich bin zu müde jetzt für den ganzen Scheiß. Ich geh mal schlafen und schau mir die Dinge Morgen früh noch mal an. Ich probiere selber die beiden Methoden und dann gebe ich Bescheid, ob ich alles richtig umsetzen kann. Falls nicht, dann melde ich mich hier noch mal.

Danke euch beiden für die Hilfe.

Edddi aktiv_icon

08:56 Uhr, 30.03.2010

...parallele Geraden im Raum haben einen ähnlichen Richtungsvektor.

So ist

λ \cdot R_{1} = R_{2}

...sie lassen sich also beide durche einen Richtungsvektor

λ \cdot R

darstellen.

Sei

R = (\begin{matrix} r_{x} \\ r_{y} \\ r_{z} \end{matrix})

so ist

λ \cdot R = λ \cdot (\begin{matrix} r_{x} \\ r_{y} \\ r_{z} \end{matrix}) = (\begin{matrix} λ \cdot r_{x} \\ λ \cdot r_{y} \\ λ \cdot r_{z} \end{matrix})

Sei

S_{1} = (\begin{matrix} x_{1} \\ y_{1} \\ z_{1} \end{matrix})

und

S_{2} = (\begin{matrix} x_{2} \\ y_{2} \\ z_{2} \end{matrix})

die beiden Stützvektoren so ist der Abstand zwischen

S_{1}

und einem Punkt auf der Geraden

S_{2} + λ \cdot R :

E = \sqrt{{((x_{1} - x_{2}) - λ \cdot r_{x})}^{2} + {((y_{1} - y_{2}) - λ \cdot r_{y})}^{2} + {((z_{1} - z_{2}) - λ \cdot r_{z})}^{2}}

E = \sqrt{[{(Δ x)}^{2} + {(Δ y)}^{2} + {(Δ z)}^{2}] - 2 \cdot λ \cdot [r_{x} \cdot Δ x + r_{y} \cdot Δ y + r_{z} \cdot Δ z] + λ^{2} \cdot [r_{x}^{2} + r_{y}^{2} + r_{z}^{2}]}

das Minimum erhält man über

E' (λ) = 0

Somit:

- 2 \cdot [r_{x} \cdot Δ x + r_{y} \cdot Δ y + r_{z} \cdot Δ z] + 2 \cdot λ \cdot [r_{x}^{2} + r_{y}^{2} + r_{z}^{2}] = 0

λ = \frac{r_{x} \cdot Δ x + r_{y} \cdot Δ y + r_{z} \cdot Δ z}{r_{x}^{2} + r_{y}^{2} + r_{z}^{2}}

...dies eingesetzt in die Abstandsfunktion ergibt den minimalsten Abstand.
...sieht umständlich aus, aber wenn man mit den Zahlenwerten rechnet ist's sehr einfach.

Als universelle Formel ist's aber:

E^{2} = [{(Δ x)}^{2} + {(Δ y)}^{2} + {(Δ z)}^{2}] - 2 \cdot (\frac{r_{x} \cdot Δ x + r_{y} \cdot Δ y + r_{z} \cdot Δ z}{r_{x}^{2} + r_{y}^{2} + r_{z}^{2}}) \cdot [r_{x} \cdot Δ x + r_{y} \cdot Δ y + r_{z} \cdot Δ z]

+ {(\frac{r_{x} \cdot Δ x + r_{y} \cdot Δ y + r_{z} \cdot Δ z}{r_{x}^{2} + r_{y}^{2} + r_{z}^{2}})}^{2} \cdot [r_{x}^{2} + r_{y}^{2} + r_{z}^{2}]

E^{2} = [{(Δ x)}^{2} + {(Δ y)}^{2} + {(Δ z)}^{2}] - \frac{2 \cdot {[r_{x} \cdot Δ x + r_{y} \cdot Δ y + r_{z} \cdot Δ z]}^{2}}{r_{x}^{2} + r_{y}^{2} + r_{z}^{2}} + \frac{{[r_{x} \cdot Δ x + r_{y} \cdot Δ y + r_{z} \cdot Δ z]}^{2}}{r_{x}^{2} + r_{y}^{2} + r_{z}^{2}}

E^{2} = [{(Δ x)}^{2} + {(Δ y)}^{2} + {(Δ z)}^{2}] - \frac{{[r_{x} \cdot Δ x + r_{y} \cdot Δ y + r_{z} \cdot Δ z]}^{2}}{r_{x}^{2} + r_{y}^{2} + r_{z}^{2}}

E = \sqrt{[{(Δ x)}^{2} + {(Δ y)}^{2} + {(Δ z)}^{2}] - \frac{{[r_{x} \cdot Δ x + r_{y} \cdot Δ y + r_{z} \cdot Δ z]}^{2}}{r_{x}^{2} + r_{y}^{2} + r_{z}^{2}}}

;-)

ahmedhos aktiv_icon

13:32 Uhr, 30.03.2010

Ich zeichne mal zwei parallele Geraden und versuche die hier besprochenen Lösungsvorschläge anzuwenden, um den kürzsten Abstand ausfindig zu machen.

g_{1} : \vec{x^{1}} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) + λ_{1} \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

g_{2} : \vec{x^{2}} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) + λ_{2} \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

1.Methode:

Zur Erklärung hier schauen:

http//www.rither.de/a/mathematik/lineare-algebra-und-analytische-geometrie/abstaende/abstand-punkt-gerade/

Eine Hilfsebene

E_{H}

mit dem Punkt

\vec{P} = P (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

und dem Normalenvektor

\vec{n} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

H N F_{E_{H}} : \vec{n} \cdot (\vec{x} - \vec{P}) = 0 \Leftrightarrow (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\vec{x} - (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})) = 0

E_{H} : x_{1} + x_{2} + x_{3} = 1

Schnitt von

E_{H}

mit der zweiten Gerade

g_{2} :

\Rightarrow λ_{2} + 1 + λ_{2} + λ_{2} = 1 \Leftrightarrow λ_{2} = 0

\Rightarrow \vec{S_{P}} (E_{H}; g_{2}) = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

Der Abstand zwischen dem Punkt

P

und dem Schnittpunkt

S_{P}

ist der kürzeste Abstand der beiden Geraden.

\Rightarrow d = | | \vec{P} - \vec{S_{P}} | | = | | \vec{S_{P}} - \vec{P} | | = \sqrt{2}

Edddi aktiv_icon

14:28 Uhr, 30.03.2010

x_{1} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

x_{2} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

Wir suchen kürzesten Abstand von

(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

zu einem Punkt auf

(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

E = \sqrt{{(Δ x)}^{2} + {(Δ y)}^{2} + {(Δ z)}^{2} - \frac{r_{x} \cdot Δ x + r_{y} \cdot Δ y + r_{z} \cdot Δ z}{r_{x}^{2} + r_{y}^{2} + r_{z}^{2}}}

E = \sqrt{{(0 - 0)}^{2} + {(1 - 0)}^{2} + {(0 - 1)}^{2} - \frac{1 \cdot (0 - 0) + 1 \cdot (1 - 0) + 1 \cdot (0 - 1)}{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}}

E = \sqrt{1 + 1 - \frac{0}{1 + 1 + 1}}

E = \sqrt{2}

ahmedhos aktiv_icon

19:31 Uhr, 30.03.2010

2.Methode:

Die 2.Methode habe ich aus der Methode von arrow30 zusammengebastelt! :-)
Zur Erklärung siehe Skizze.

Man sucht den Vektor

\pm \vec{e} = \pm [\vec{b} + k \cdot \vec{u_{2}} - \vec{a}],

denn die Länge dieses Vektors ist die gesuchte Länge.

Man bestimme

k

mithilfe der Bedingung, daß

\vec{e}

senkrecht auf

\vec{u}

sein soll

\Leftrightarrow

das Skalarprodukt veschwindet also

\Leftrightarrow \vec{e} \cdot \vec{u} = 0

Aufs Beispiel angewandt heißt das nicht anders als:

\vec{e} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) + k \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} k \\ k - 1 \\ 1 + k \end{matrix})

\vec{u} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

\vec{e} \cdot \vec{u} = k + k - 1 + 1 + k = 3 k = 0 \Leftrightarrow k = 0

\Rightarrow \vec{e} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix})

d = | | \vec{e} | | = \sqrt{2}

ahmedhos aktiv_icon

20:16 Uhr, 30.03.2010

3. Methode:

Ich habe versucht mich mit der Methode von MokLok auseinander zu setzen, aber dann bin ich auf etwas "komisches" gestoßen:

\vec{c} \times \frac{\vec{u}}{| | \vec{u} | |} = d!

Aber

\vec{c} \times \frac{\vec{u}}{| | \vec{u} | |}

ergibt wieder einen Vektor und keine Zahl!

("Siehe Skizze")
??

Noch gleich eine Frage dazu:

Wie kommt man auf die Gleichung mit dem Kreuzprodukt auf der Webseite:
http//www.frustfrei-lernen.de/mathematik/abstand-paralleler-geraden.html