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4. Ordnung, Anfangswertproblem, DGL

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: Anfangswertproblem, Verfahren nach Euler

 
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Chica-Rabiosa

Chica-Rabiosa aktiv_icon

15:21 Uhr, 17.06.2017

Antworten
Guten Tag,

gegeben habe ich folgendes Anfangswertproblem 4. Ordnung:

td4ydt4-10d3ydt3+t2dydt=tsin(t)

a) Überführen Sie das Anfangswertproblem in ein System von Anfangswertproblemen erster Ordnung.

b) Welcher wesentlicher Vorteil hat die Darstellung von beliebigen Anfangswertproblemen in einem System von Anfangswertproblemen 1. Ordnung?

c) Überführen Sie das Euler-Verfahren in eine Form, damit es auf das System von Anfangswertproblemen nach a) anwendbar ist.


Erstmal kann ich umschreiben:
ty''''-10y'''+t2y'-tsin(t)=0

Und durch t teilen:
y''''-10y'''t+ty'-sin(t)=0

ich definiere mir also einen Vektor v'=F(t,v(t)) ist, mit

(v0v1v2)'=F(t,v(t))=(v1v2tv0(t)-10v1(t)t-sin(t))

Stimmt das denn?

Bei b) ist mir an sich klar, dass grundsätztlich Anfangswertprobleme erster Ordnung, deutlich einfacher zu lösen sind als Anfangswertprobleme höherer Ordnung. Aber ob das so als Antwort ausreichend ist?

Der letzte Aufgabenteil (c) erscheint mir dahingehend abstrus, da wir das Eulerverfahren auf das System von Anfangswertprobleme nach a) anwendbar machen sollen. Aber das Eulerverfahren ist doch schon so ausgelegt, dass es für Anfangswertprobleme 1. Ordnung ausgelegt ist? Was wird da verlangt?

Vielen Dank für Hilfe im voraus,

Chica-Rabiosa

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Antwort
ledum

ledum aktiv_icon

19:35 Uhr, 17.06.2017

Antworten
Hallo
da du eine Dgl 4 der Ordnung hast ist das System auch 3 fach.
du musst angeben
V1=Y
v2=y'
usw
dann schreib lieber in der Form
v'=Av+B(t)
dann schreibe was du unter F damit verstehen willst.
wenn ihr das Euler Verfahren bisher nur für einfache Dgl erster Ordnung behandelt habt, musst du es entsprechend umschreiben.
Natürlich kannst du die Dgl auch als Dgl dritter Ordnung für y' auffassen, aber dann würde um y(t) zu bestimmen noch wieder eine Integration fehlen.
Gruß ledum
Chica-Rabiosa

Chica-Rabiosa aktiv_icon

20:02 Uhr, 17.06.2017

Antworten
Hey ledum,

danke für's Antworten.

Ja das Euler-Verfahren ist auf Anfangswertproblemen erster Ordnung definiert, sprich

y'=f(t,y)

Also durch t geteilt:
y''''-10y'''t+ty'-sin(t)=0

ich definiere mir also einen Vektor v'=Av+B(t)

mit v'=(v0v1v3v4)' und A=(00000t20000-100000t) sowie B(t)=(000-sin(t))

Mich verwirrt jetzt, dass wir keine Anfangsbedingungen haben, bin mir also unsicher.

Ist denn meine Antwort bei b) plausibel und ausreichend?

Grüße

Chica-Rabiosa



Antwort
ledum

ledum aktiv_icon

15:54 Uhr, 18.06.2017

Antworten
Hallo
Deine Matrix ist falsch. multipliziere mal aus dann steht da z. B. v0'=0 aber richtig ist v0'=v1
du solltest wirklich dazuschreiben
v0=y
v1=y'=v0'
v2=y''=v1'
v3=y'''=v2'
v3'=y''''=.......
und dann die Matrix hinschreiben besser zuerst in der form y''''=..... aufschreiben.
dabei t=0 ausnehmen
Wenn du das richtig hast schreib den ersten Schritt der Euler Lösung hin und einen allgemeinen Schritt, also von n nach n+1.
das ist, was sie von die wollen
Gruß ledum
Chica-Rabiosa

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09:06 Uhr, 19.06.2017

Antworten
Hallo.
Ja das war nichts.

(v0v1v2v3)'=(y'y''y'''y'''')=(v1v2v3v4) so ist es korrekt.

B(t)=(000-sin(t))

A=(t000000000-10t00001)

v'=Av+B(t)

So müsste es stimmen? Nur ich frage mich immer in welche Komponente ich dann die Störfunktion aufschreibe? Also in welche Komponente gehört das -sin(t)

Wenn das korrekt ist kann ich es mit Herrn Euler versuchen.

Den ersten Schritt kann ich ja aufschreiben:

Also allgemein erstmal,
y'=f(t,y)atb,y(a)=α

wi+1=wi+hf(ti,wi)

w0=α

mit i=0,1,2,...,m-1 und h=b-am

erste Schritt i=0


w1=w0+hf(t0,w0)

zweite Schritt

erste Schritt i=1


w2=w1+hf(t1,w1)

Aber wie ist das jetzt gemeint überführen Sie das Euler-Verfahren in eine Form, damit es auf das System von Anfangswertproblemen nach a) anwendbar ist?

Danke ledum!

Grüße

Chica-Rabiosa
Antwort
ledum

ledum aktiv_icon

13:08 Uhr, 19.06.2017

Antworten
Hallo
deine Matrix ist noch immer falsch jetzt steht da
v0'=t
aber richtig ist v0'=v1
schreib es doch mal erst in der Form wie ich schon gezeigt. v0'=v1,v1'=v2.... v3'=tv1+0v2+10tv3+sin(t)
wenn du ein Matrix hast, multipliziere sie mit v aus, um zu kontrollieren.

Dann schreib das Eulerferfahren genau mit den Matrizen und B(t) hin.
nimm einfach Anfangswerte v0(t0),v1(t0),v2(t0),v3(t0)
wenn du das mit f(t,v) schreiben willst ausdrücklich dein f hinschreiben!!
und da du ja w1 und w2 hinschreiben kannst auch wk+1 aus wk
Gruß ledum
Chica-Rabiosa

Chica-Rabiosa aktiv_icon

16:46 Uhr, 19.06.2017

Antworten
Hallo,

aber in deinem letzten Post scheint auch was mit den Vorzeichen durcheinander zu sein?

Wenn ich y''''-10y'''t+ty'-sin(t)=0 habe, dann sollte

v4=v3'=y''''=10y'''t-ty'+sin(t) sein.

(v0v1v2v3)'=(v1v2v3-tv1+0v2+10v3t+sin(t))

So müsste es jetzt korrekt sein. Die ersten drei Zeilen sind ja reine Formalität. In der letzten Komponente kommt dann die ganze DGL zum Vorschein. Ausmultipliziert stimmt es jetzt, zur Kontrolle.

v'=Av+B(t)

Und die zugehörige Matrix A nochmal:


A=(100010001-t010t) mit B=(000sin(t))

Jetzt bin ich mir ziemlich sicher, dass es stimmt.

Jetzt soll ich das Eulerverfahren genau mit den Matrizen und B(t) hinschreiben?

Da bin ich jetzt am Grübeln. Gemeint ist bestimmt den Euler für jede DGL erster Ordnung hinzuschreiben, also wir haben ja die DGL 4. Ordnung auf ein System mit 4 DGL's erster Ordnung überführt.

Also im Prinzip muss ich dann hinschreiben:


(v0v1v2v3)'=deneinzelnenFunktionen

Aber wie indiziere ich das jetzt? Und wie behandele ich dann die jeweiligen Approximationen w1...wn? Der einzelnen Funktionen/DGL's?

Danke ledum wie immer herzlich!

Chica-Rabiosa
Antwort
ledum

ledum aktiv_icon

17:19 Uhr, 19.06.2017

Antworten
Hallo
du schreibst es entweder in Vektorschreibweise
v(t0) gegebene Anfangsbedingungen.
Schrittweite Δt=h
t1=t0+h
tk+1=tk+h=t0+(k+1)h
Näherungslösung w(tk)=wk
w1=Ahv(t0)+B(t0)
ob du A explizit hinschreibst. oder nur einmal ist Geschmacksache, zum späteren rechnen besser explizit.
wk+1=............
oder du nennst deine große Klammer f(v,t) und schreibst es damit.
du schreibst nie Vektoren, dann solltest du wenigstens einmal sagen, was w bzw v ist
denn w0 kann w(t0) sein oder die erste Komponente von w
Gruß ledum
Chica-Rabiosa

Chica-Rabiosa aktiv_icon

17:53 Uhr, 19.06.2017

Antworten
Hallo,

so ganz kann ich den Bedingungen und Annahmen nicht folgen.

Ich halte fest der Vektor der Anfangsbedingungen v(t0) ist definiert als:

v(t0)=(v0(t0)v1(t0)v2(t0)v0(t0))

Jetzt ist:

w1=Ahv(t0)+B(t0)=(100010001-t010t)h(v0(t0)v1(t0)v2(t0)v0(t0))+(000sin(t0)) so?

Wie immer danke ledum!

Grüße

Chica-Rabiosa

Antwort
ledum

ledum aktiv_icon

22:18 Uhr, 19.06.2017

Antworten
Hallo
ja, richtig, nur auch in der Matrix muss t0 statt t stehen.
und deine letzte Komponente von v(t0) ist wohl ein Tipfehler.
Gruß ledum
Chica-Rabiosa

Chica-Rabiosa aktiv_icon

23:20 Uhr, 19.06.2017

Antworten
Hallo ledum,

ja da sind Tippfehler. Danke ledum :-)

c)
w1=Ahv(t0)+B(t0)=(100010001-t0010t0)h(v0(t0)v1(t0)v2(t0)v3(t0))+(000sin(t0))

Ich erkenne aber nicht wirklich wieso das der Euler-Approximation entspricht?

Und was ist mit der b)? Reicht da eigentlich meine Antwort aus dem #Startbeitrag?

Grüße

Chica-Rabiosa
Antwort
ledum

ledum aktiv_icon

16:11 Uhr, 20.06.2017

Antworten
Hallo
Wenn du es besser siehst, mach es mit der Funktion, F(v,t) di du ja auch aufgeschrieben hast.
von der Idee her rechnest du für die einzelnen Komponenten jeweils die Steigung aus im Punkt , an dem du gerade bist und gehst dann auf der Tangente einen Schritt h weiter. Dann hat du einen neuen (genäherten Punkt, und rechnest da wieder die Steigungen aus .
oder wenn du an y'''' denkst rechnest du aus der Anfangsbedungung für y'''y''' aus daraus das neue y'''
dann damit das neue y'' usw.
zu b) zu Anfangswerten 1. Ordnung gibt es Beweise für die Eindeutigkeit von Lösungen (Picard Lindelöf) und viele fertige Lösungsprogramme in fast allen Programmiersprachen.
Gruß ledum
Chica-Rabiosa

Chica-Rabiosa aktiv_icon

17:19 Uhr, 20.06.2017

Antworten
Hey, also einmal die Variante:

w1=Ahv(t0)+B(t0)=(100010001-t0010t0)h(v0(t0)v1(t0)v2(t0)v3(t0))+(000sin(t0))

die ist ja definitiv korrekt?

Und die andere wäre:
v'=F(t,v(t))

w1=w0+hF(ti,wi) und w0=α, wobei α=y(a)

Nur wie führe ich das jetzt aus?

F(t,v(t))=(v1(t)v2(t)v3(t)-tv1(t)+10v3(t)t+sin(t))

Also wie indiziere ich das ti,wi und was ist mit meinem w0?

Zu b) Ja und die Kernaussage bzw. die Schlussfolgerung ist doch, dass man DGL's erster Ordnung schlicht einfacher lösen kann?

Was würde ich nur ohne dich machen ledum, danke! Dankeschön, wirklich.

Grüße!

Chica-Rabiosa
Antwort
ledum

ledum aktiv_icon

21:43 Uhr, 20.06.2017

Antworten
Hallo
ich bin nicht gewohnt, den Näherungslösungen für v den neuen Namen w zu geben.
aber wenn das bei euch üblich ist, dann muss natürlich außß34 w0=y0=y(t0) (da noch ein a einführen find ich schlecht.
dann muss natürlich auch in F nicht v sondern w stehen
und natürlich fehlt noch das allgemeine wi+1 und wie du die w und t indizerst ist doch klar, w_ß ist gegeben, daraus w1
ud aus wi(ti) dann wi+1(ti+1 nicht anders als im ersten Schritt.
natürlich sollte irgendwo stehen ti+1=ti+h
zu b) da du kein anderes Verfahren kennst, ist die Aussage ( schlicht einfacher) gewagt, ich würde es so ähnlich formulieren wie ich schon sagte. ich finde besonders wichtig, bevor man losrennet, etwas über die Eindeutigkeit zu wissen.
Gruß ledum
Chica-Rabiosa

Chica-Rabiosa aktiv_icon

07:35 Uhr, 21.06.2017

Antworten
Morgen ledum,

wie erwähnt bei der Indizierung komme ich des öfteren durcheinander. Also ich versuche dann mal es auf die Notation:

y'=F(t,y); Intervall atb;y(a)=α

wi+1=wi+hF(ti,wi)

w0=α zu beziehen.

Also: w0=y0(t0)=y(t0)=α

w'=F(t,w(t))

wi+1=wi+hF(ti,wi)

Und jetzt auf die Aufgabe bezogen doch:

F(t,w(t))=(w1(t)w2(t)w3(t)-tw1(t)+10w3(t)t+sin(t))

wi+1=wi+h(w1(t)w2(t)w3(t)-tw1(t)+10w3(t)t+sin(t))

Geht das so? Es ist ja allgemein für die Aufgabe angepasst?

Zu b) Ja DGL's erster Ordnung haben bekannte Lösungsverfahren, die die Eindeutigkeit von Lösungen gewährleisten und somit leicht in der Anwendung verglichen mit DGL's höherer Ordnung sind?

Herzlichen Dank.

Grüße

Chica-Rabiosa

Antwort
ledum

ledum aktiv_icon

12:41 Uhr, 21.06.2017

Antworten
Hallo
es fehlt: ich nenne die Näherungslösungen für y(ti)wi(ti)
2. es fehlt die Umsetzung w0=y,w1=Y' usw am Anfang. und mich stört weiterhin, dass du zwischen den Komponenten wi und dem Vektor wi keinen Unterschied machst.
bei wi+1 darf in F nicht t stehen, sondern ti
besser find ich auch statt wi immer wi(ti) zu schreiben. dazu die Definition von ti+1=ti+h
zu b) die Aussage "die die Eindeutigkeit von Lösungen gewährleisten" ist falsch. Richtig ist, dass man mit Picard Lindelöf feststellen kann ob eine Dgl 1. Ordnung mit gegebenen Anfangsb.. eindeutige Lösungen hat, Das Lösungsverfahren findet immer nur eine Lösung, auch wenn die nicht eindeutig ist. Zudem kann man die Genauigkeit des Verfahrens abschätzen
Gruß ledum

Chica-Rabiosa

Chica-Rabiosa aktiv_icon

12:25 Uhr, 22.06.2017

Antworten
Guten Tag ledum,

ich versuche mal erneut. Aber das ist alles so uneindeutig finde ich. Ich sitze da immer stundenland davor und weiß nicht wie ich sowas umsetzen soll. Was ich jetzt auch noch nicht verstehe noch ist wie ich zwischen wi und dem Vektor wi unterscheiden soll? Ich meine der Vektor ist ja auch nicht gleich der Approximation wi+1?

ti+1=ti+h sprich einen Funktionswert um die Schrittweite h weiter.

y'=F(ti,y); Intervall atib;y(a)=α

wi+1=wi(t)+hF(ti,wi)

--------------------------------------------
Umsetzung:
w0=y
w1=y'
w2=y''
w3=y'''
w4=y''''

Mit den jeweiligen Anfangsbedinungen allgemein, weiß ich nicht, wie ich das am besten aufschreiben soll.

w'=F(t,w(ti))=(w0(ti)w1(ti)w2(ti)w3(ti))'

Und jetzt auf die Aufgabe bezogen doch:

F(t,w(ti))=(w1(ti)w2(ti)w3(ti)-tiw1(ti)+10w3(ti)ti+sin(ti))

wi+1=wi(t)+h(w1(ti+1)w2(ti+1)w3(ti+1)-ti+1w1(ti+1)+10w3(ti+1)ti+sin(ti+1))

So sollte es auf jeden Fall besser sein?

b) Wir hatten Picard-Lindelöf gar nicht. Daher weiß ich jetzt immer noch nicht wie ich das jetzt am Besten beantworten soll? Also auf jeden Fall solle ich erwähnen

i) allgemein einfacher als DGL's höherer Ordnung
ii) bekannte Lösungsmethoden von DGL's erster Ordnung durch verschiedene Verfahren
iii) die Genauigkeit der Lösung ist abschätzbar
iv) ?

Danke, danke,

Chica-Rabiosa
Antwort
ledum

ledum aktiv_icon

16:16 Uhr, 22.06.2017

Antworten
Hallo
im Prinzip ist es so richtig, weiterhin stört mich dass du in F den Vektor w ausschreibst, davor aber einfach nur wi
so steht dann etwa bei
w3=w2+ und dann in F ein anderes w2
warum gehst du darauf nicht ein, entweder konsequent wi ist Vektor oder konsequent w=(w0,w1,w2,w3)T
Wenn ihr keinen Eindeutigkeitsbeweis hattet fällt IV weg, aber i) kannst du ja nicht wirklich wissen . ich würde die fertigen Lösungsmethoden in den üblichen Programmiersprachen als i) nehmen.
Gruß ledum
Antwort
ledum

ledum aktiv_icon

16:17 Uhr, 22.06.2017

Antworten
Hallo
im Prinzip ist es so richtig, weiterhin stört mich dass du in F den Vektor w ausschreibst, davor aber einfach nur wi
so steht dann etwa bei
w3=w2+ und dann in F ein anderes w2
warum gehst du darauf nicht ein, entweder konsequent wi ist Vektor oder konsequent w=(w0,w1,w2,w3)T
Wenn ihr keinen Eindeutigkeitsbeweis hattet fällt IV weg, aber i) kannst du ja nicht wirklich wissen . ich würde die fertigen Lösungsmethoden in den üblichen Programmiersprachen als i) nehmen.
Gruß ledum
Chica-Rabiosa

Chica-Rabiosa aktiv_icon

16:35 Uhr, 22.06.2017

Antworten
Hallo ledum,

okay und was ist eig mit den jeweiligen Anfangsbedinungen allgemein?

Meinst du dann so:
wi+1=(w0(ti+1)w1(ti+1)w2(ti+1)w3(ti+1))+h(w1(ti+1)w2(ti+1)w3(ti+1)-ti+1w1(ti+1)+10w3(ti+1)ti+sin(ti+1))

So ist das gemeint?

b) gut dann mache ich es so.

Grüße und vielen Dank!

Chica-Rabiosa
Antwort
ledum

ledum aktiv_icon

00:44 Uhr, 23.06.2017

Antworten
ok und hak ab
Gruß ledum