Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » A^4-B^4=C^4

A^4-B^4=C^4

Universität / Fachhochschule

Tags: Quadratzahl als Quadratzahldifferenz

OnlineMBS aktiv_icon

19:36 Uhr, 30.03.2017

Zeige nicht jede Quadratzahl ist Quadratzahldifferenz

(ab)^2=((a^2+b^2)/2)^2-((a^2-b^2)/2)^2

c^{4} = a^{4} - b^{4}

?

Beweis

a^{4} - b^{4} = (a^{2} - b^{2}) (a^{2} + b^{2}) \neq c^{4} \neq C^{2} \cdot C^{2} \neq C^{1} \cdot C^{3}

Korrekt?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

ermanus aktiv_icon

19:57 Uhr, 30.03.2017

Hallo,
ich verstehe Dein Argument nicht. Wieso benutzt Du 4-te Potenzen ...

Aber dafür ist doch offensichtlich, dass

1 = 1^{2}

nicht Differenz zweier
Quadratzahlen (>0) ist.
Gruß ermanus

OnlineMBS aktiv_icon

20:04 Uhr, 30.03.2017

In der ersten Formel ist eine Quadratzahl nur dann Quadratzahl Differenz wenn

a, b

die gleiche Parität haben.

In der Zweiten Formel

Ist

a^{2} + b^{2} = c^{2}

dann ist

a^{2} - b^{2} \neq c^{2}

\Rightarrow a^{4} - b^{4} \neq c^{4} \Leftrightarrow a^{4} \neq c^{4} + b^{4}

ermanus aktiv_icon

20:21 Uhr, 30.03.2017

Willst Du denn nur zeigen, dass nicht jede Quadratzahl die Differenz zweier
Quadratzahlen ist? Dann hast Du doch mit 1 eine solche Zahl gefunden.
Es gibt ansonsten unendlich viele Quadratzahlen, die die Differenz
zweier Quadratzahlen sind, z.B.

9 = 25 - 16

, diese ergeben sich alle aus den
pythagoreischen Tripeln ...

OnlineMBS aktiv_icon

20:25 Uhr, 30.03.2017

Richtig

Quadratzahl

> 1; a, b > 0

Zu vierter Potenz

Ist das nicht ein Fermat Beweis ?

A^{4} + B^{4} \neq C^{4} \Leftrightarrow A^{4} \neq B^{4} - C^{4}

\Rightarrow

A^{2^{n}} + B^{2^{n}} \neq C^{2^{n}}; n > 1

ledum aktiv_icon

22:27 Uhr, 30.03.2017

Nein
Gruß ledum

ledum aktiv_icon

22:33 Uhr, 30.03.2017

Hallo
pythagoräische Zahlen

a^{2} + b^{2} = c^{2}

a^{2} - c^{2} = b^{2}

nicht alle Zahlen sind pythagoräische Zahlen. Willst du das sagen?
ledum

OnlineMBS aktiv_icon

10:36 Uhr, 31.03.2017

Genau

Hat man einen Tripel

a, b, c,

gefunden

3,4,5

kann leicht andere konstruieren da jede Quadratzahl

a^{2^{n}}

mit

n = 1

eine Quadratzahldifferenz ist.

Bsp:

3^{2} + 4^{2} = 5^{2} = 13^{2} - 12^{2}

Daraus lässt sich folgern, dass jede Gleichung mit quadratischen Summen-Gliedern

a^{2}_i + b^{2}_i + c^{2}_i + d^{2}_i ... . = y^{2}; i = 1

bis

00

eine nicht triviale Lösung in

N

hat.

Aber ich brauch noch bitte einen Beweis

A^{4} \neq C^{4} - B^{4} = (c^{2} + b^{2}) (c^{2} - b^{2})

Ein Argument ist sicherlich das

(c^{2} - b^{2})

immer

> 1

ist.

ermanus aktiv_icon

13:30 Uhr, 31.03.2017

Hallo,

der Beweis, den du suchst, ist keiner, den man so mal eben aus dem Ärmel schüttelt.
Meist wird er mit der Abstiegsmethode geführt, die auf Fermat zurückgeht
und die er selbst auch bei anderen Diophantischen Gleichungsproblemen benutzt hat.

Einen Beweis findest Du z.B. in folgender Arbeit:

http//www.uni-regensburg.de/Fakultaeten/nat_Fak_I/Mat4/waldi/prosemws0506/zula.pdf

Gruß ermanus

OnlineMBS aktiv_icon

14:09 Uhr, 31.03.2017

Danke!

\Rightarrow

analog

3.1) A^{4} + B^{4} \neq C^{2} \neq (A^{2} - B^{2}) (A^{2} + B^{2}) \neq C^{1} \cdot C^{1}

sieht logisch aus.

\Rightarrow

Pythagoras

A^{2} - B^{2} = C^{2} = (a - b) (a + b);

mit

(a - b) = 1^{2}

und

(a + b) = C^{2}

a^{2} - b^{2} = c^{3}

hat die Lösung

4^{3} = {(x + y)}^{2} - {(x - y)}^{2}; x \neq y; x, y (16,1); x, y (8,2)

Das Schachspielbrett

ledum aktiv_icon

19:58 Uhr, 31.03.2017

Hallo
bitte stell Fragen, wenn du welche hast und hak sonst ab.
Gruß ledum

1363764

1363634

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?