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ABC-Formel

Schüler Gymnasium, 8. Klassenstufe

Tags: Sachaufgabe

-Sophie- aktiv_icon

19:21 Uhr, 18.06.2011

Hallo...
Wir schreiben am Dienstag eine Mathearbeit und haben folgende Übung bekommen. Ich verstehe diese aber leider nicht..:(
Also...

Eine Firma, die Ski herstellt, hat untersucht, wie die Herstellungskosten

K

und die Einnahmen

E

von der produzierten und verkauften Stückzahl

x

abhängen.
Modell:
Die Firma nimmt der Einfachheit halber an, dass alle produzierten Ski verkauft werden. Die kosten

K

kann man errechnen mit der Funktionsgleichung

K (x) = 0,1 x (4000 - x)

a)

Wie viel Ski müssen mindestens und wie viele dürfen höchstens verkauft werden, damit die Firme in der "Gewinnzone" bleibt?

b)

Für welche Anzahl verkaufter Ski sind die Einnahmen maximal?

c)

Für welche Anzahl verkaufter Ski ist der Gewinn maximal?

Danke schon mal im Voraus!
Liebe Grüße Sophie

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

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19:31 Uhr, 18.06.2011

Wie hoch ist der Verkaufspreis?

-Sophie- aktiv_icon

19:39 Uhr, 18.06.2011

Jaa, des ist eben mein Problem...Ich weiß es nicht wie hoch der ist^^ Es steht leider auch nirgends in der Aufgaben...:(

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20:00 Uhr, 18.06.2011

Kannst du vielleicht dein Aufgabenblatt einscannen und hier einfügen?

-Sophie- aktiv_icon

20:14 Uhr, 18.06.2011

Tut mir leid aber ich weiß leider nicht wie es geht...ich habe es abfotographiert abber die datei ist zu groß..was nun? ich habe die aufgaben genau so abgeschrieben, wie sie auf dem ab steht..

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20:29 Uhr, 18.06.2011

Steht da nichts über die Einnahmen

E (x)

? Ohne kann man schlecht eine Gewinnfunktion aufstellen.

-Sophie- aktiv_icon

20:31 Uhr, 18.06.2011

Also da steht nichts über die Einnahmen

E . .

.
Als Gewinnfunktion habe ich mal einfach geschrieben: Einnahmen-Kosten= Gewinn...
Ich weiß nicht ob des so richtig ist...

P . S

habe ich mit meinem Nachhilfe Lehrer gemacht, er ist jedoch auch nicht weiter gekommen

- . -

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20:39 Uhr, 18.06.2011

Also das mit dem Erlös minus Kosten stimmt, aber du braucht einen Preis für die Erlösfunktion. Wir könnten jetzt annehmen, dass die der Verkaufspreis immer so hoch sein soll, wie die Kosten, aber dann ist der Gewinn immer gleich 0.

Merkwürdig an deiner Kostenfunktion ist, dass sie durch den Ursprung

(0 | 0)

geht und nicht weiter oben, da das üblich ist. Man bezeichnet das als Fixkosten. Fixkosten sind zum Beispiel bei deinem Handyvertrag die Grundgebühren, die du jeden Monat zahlen musst, egal ob du telefonierst oder nicht. Dann kommen zu den Kosten noch variable Kosten, die bei deinem Handy zum Beispiel der Minutenpreis sind.

Deine Kostenfunktion hat keine Fixkosten, wobei ja in Unternehmen zumindest Mietkosten entstehen.

Ps.: Wenn du das Foto auf deinem Rechner hast, kannst du es mit Paint öffnen und zurechtschneiden, und oder in ein anderes Format umwandeln.

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20:41 Uhr, 18.06.2011

Jaa ist klaar..
Vielleicht könnte ich auch das Bild auf deine E-Mail schicken..?! Dazu brauch ich sie aber..

-Sophie- aktiv_icon

20:44 Uhr, 18.06.2011

Hm..Gehts?

-Sophie- aktiv_icon

20:45 Uhr, 18.06.2011

Soo kannst du es lesen?
Einnahmen ist E..kann man leider nicht lesen..

Blima aktiv_icon

20:57 Uhr, 18.06.2011

Kann es lesen. Du hast die Kostenfunktion mit der Erlösfunktion vertauscht, die du gar nicht erwähnt hast.

=)

Deine Kostenfunktion lautet

K (x) = 80 x + 60000

Du siehst, dass du fixe Kosten von

60000

hast, auch wenn du 0 mal

x

hast.
Das sind die "Grundgebühren deines Handy´s" und die Mietkosten, Personalkosten etc. für das Unternehmen, dass es jeden Monat zahlt, egal ob produziert wird oder nicht.

Dann hast du die Erlösfunktion

E (x) = 0,1 x (4000 - x)

die können wir ausmultiplizieren und erhalten:

E (x) = - 0,1 x^{2} + 400 x

an dem Minus vor dem

x

sehen wir, dass es eine nach unten geöffnete Parabel ist. Also ein umgedrehtes

U . \land

Für deine Aufgaben müssen wir die Gewinnfunktion erstellen. Wie du richtig sagtest, lautet die Gewinnfunktion= Erlös-Kosten. Also

G (x) = E (x) - K (x)

wir setzen unsere Funktionen ein:

G (x) = - 0,1 x^{2} + 400 x - (80 x + 60000)

wir setzen eine Klammer um die Kosten, weil wir die gesamten Kosten abziehen und dann alles in der Klammer negativ wird.
Wir lösen die Klammer auf:

G (x) = - 0,1 x^{2} + 400 x - 80 x - 60000

wir fassen

400 x - 80 x

zusammen zu

320 x

und erhalten dann:

G (x) = - 0,1 x^{2} + 320 x - 60000

Mit dieser Gewinnfunktion können wir alle Aufgaben lösen. Das mache ich im nächsten Beitrag.

-Sophie- aktiv_icon

21:03 Uhr, 18.06.2011

Okay Cool...Genau des gleiche habe ich bis jetzt auch raus bekommen...;-)
Wusste nur nicht, ob des auch so stimmt...Kannst du mir auch noch

b

und

c

erklären?
Wenn diese Aufgabe gelöst ist, möchtest du mir dann vielleicht noch ne Aufgabe erklären? :-D)

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21:14 Uhr, 18.06.2011

G (x) = - 0,1 x^{2} + 320 x - 60000

a)

Bezieht sich darauf, von wann bis wann der Erlös so groß oder größer als die Kosten. Also schauen wir, wo der Gewinn=0 ist. Also wann die Bedingung Erlös=Kosten ist.

Dazu schreiben wir

G (x) = - 0,1 x^{2} + 320 x - 60000 = 0

und suchen die Nullstellen, in dem wir die Pq-Formel verwenden.

Dafür müssen wir

G (x) = - 0,1 x^{2} + 320 x - 60000

umstellen, damit da nur

x^{2}

steht. Also teilen wir alles durch

- 0,1

G (x) = - 0,1 x^{2} + 320 x - 60000 | : (- 1)

x^{2} - 3200 x + 60000 = 0

x 1,2 = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}

x 1,2 = 1600 \pm \sqrt{1600^{2} - 60000}

x 1,2 = 1600 \pm 1400

x 1 = 1600 + 1400 = 3000

x 2 = 1600 - 1400 = 200

Also ab

200

Stück und bis

3000

Stück haben wir einen Gewinn.

-Sophie- aktiv_icon

21:17 Uhr, 18.06.2011

Uii...Die Pq Formel...Die hatten wir noch nicht...nur die abc-formel...mein dummer mathe lehrer...ist schon oftvorgekommen das er uns aufgaben gibt und können sie nich berechen-.-

Blima aktiv_icon

21:17 Uhr, 18.06.2011

b)

Für den maximalen Gewinn müssen wir die erste Ableitung gleich null setzen.

G (x) = - 0,1 x^{2} + 320 x - 60000

G' (x) = - 0,2 x + 320

G'' (x) = - 0,2

dadurch dass

G'' (x) = - 0,2

ist, also kleiner als

0,

wissen wir, dass wir nur "Hochpunkte" haben.

G' (x) = - 0,2 x + 320 = 0 | + 0,2 x

320 = 0,2 x | : 0,2

x = 160

Bei

160

Stück haben wir den maximalen Gewinn.

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21:23 Uhr, 18.06.2011

Habe die ABC-Formel noch nie benutzt, aber du musst das ja dann nur einsetzen und ausrechnen.
Also

a = - 0,1; b = 320

und

c = - 60000

dann in:

x 1,2 = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 \cdot a \cdot c}}{2 a}

finde die Pq-Formel aber besser. Wahrscheinlich, weil ich schon immer damit rechnen musste.^^

Ps.: Zeigt er die Wurzel an?

-Sophie- aktiv_icon

21:25 Uhr, 18.06.2011

Asoo oke...;-) Aber ich weiß nicht ie die pq formel aufgebaut ist...was muss ich dann einsetzen?

Blima aktiv_icon

21:30 Uhr, 18.06.2011

Achso, uuups. Habe Aufgabe

b)

mit

c)

vertauscht. Also das hier ist Aufgabe

b)

und das da drüber ist Aufgabe

c) :

Maximale Einnahmen:

E (x)

ableiten und null setzen.

E (x) = - 0,1 x^{2} + 400 x

E' (x) = - 0,2 x + 400

E'' (x) = - 0,2

(Wieder nur Hochpunkte)

E' (x) = - 0,2 x + 400 = 0 | + 0,2 x

400 = 0,2 x | : 0,2

x = 2000

Maximale Einnahmen bei

2000

Stück
Einnahmen gleich

E (2000) = 799800

-Sophie- aktiv_icon

21:30 Uhr, 18.06.2011

Jaaa er zeigt die wurzel an..

Blima aktiv_icon

21:32 Uhr, 18.06.2011

Der maximale Gewinn ist bei

1600

Stück.
Habe bei

\frac{320}{0,2}

falsch gerechnet.

\land

Der Gewinn ist dann

G (1600) = 196000

hoch

-Sophie- aktiv_icon

21:33 Uhr, 18.06.2011

Okee alles klar...Ist die aufgabe nun fertig?

Blima aktiv_icon

21:35 Uhr, 18.06.2011

Jo^^

-Sophie- aktiv_icon

21:36 Uhr, 18.06.2011

Okee DAANNKKEEE!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Aber ich hätte noch ne Frage...Oder kommst du morgen nochmal on?

-Sophie- aktiv_icon

21:40 Uhr, 18.06.2011

Danke nochmal!!

Blima aktiv_icon

21:59 Uhr, 18.06.2011

Stell einfach.^^ Ansonsten werden in diesem Forum Fragen sehr schnell beantwortet.

-Sophie- aktiv_icon

22:03 Uhr, 18.06.2011

Bestimme den Scheitelpunkt der quadratischen Funktion.

a) y =

xhoch2-3x

+ 2

b) y =

xhoch2+0,5x-2

Blima aktiv_icon

22:28 Uhr, 18.06.2011

Ich benutze die Pq-Formel, um die beiden Nullstellen herauszufinden, da der Scheitelpunkt in der Mitte davon ist.

y = x^{2} - 3 x + 2

x 1,2 = 1,5 \pm \sqrt{{1,5}^{2} - 2}

x 1 = 1,5 + 0,5 = 2

x 2 = 1,5 - 0,5 = 1

Scheitelpunkt=

\frac{2 + 1}{2} = 1,5

y = {1,5}^{2} - 3 \cdot 1,5 + 2 = - 0,25

SP(-0,25|1,5)

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Könnt ihr schon Ableitungen bilden? Damit geht das wesentlich einfacher.
Für die zweite Aufgabe hast du dann die erste Ableitung und setzt die gleich null:

2 x + 0,5 = 0 | - 0,5

2 x = - 0,5 | : 2

x = - 0,25

y = {0,25}^{2} + 0,5 \cdot (- 0,25) - 2 = - 2,0625

SP(-0,25|-2,0625)

Du kannst das auch mit der Pq-Formel oder Abc-Formel lösen. Wenn du noch fragen hast, oder ich das anders lösen soll, sag ruhig bescheid.

-Sophie- aktiv_icon

22:32 Uhr, 18.06.2011

Hmm...irgendwie versteh ich des nicht so recht. Denn die PQ Formel keine ahnung, wie man des macht. Kannst du des auhc mit der ABC-Formeln lösen? Nee wir hatten noch keine Abzeilungen...

Blima aktiv_icon

22:58 Uhr, 18.06.2011

Zuerst die ABC-Formel:

x 1,2 = - b \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}

Also für

x 1

hast du

x 1 = - b + \frac{\sqrt{b^{2} - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}

und für

x 2

hast du

x 2 = - b - \frac{\sqrt{b^{2} - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}

Jetzt musst du nur noch einsetzen.

Du hast zum Beispiel die erste Funktion:

y = x^{2} - 3 x + 2

dein a ist immer die Zahl vor den

x^{2},

dein

b

immer die Zahl vor dem

x

und dein

c

die Zahl am Ende.

hier:

a = 1; b = - 3; c = 2

Jetzt musst du nur noch die Zahlen einsetzen und in deinen Taschenrechner einsetzen.

für

x 1

hast du dann:

x 1 = 3 + \frac{\sqrt{- 3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}

dann kommt da 2 raus.
wenn du das für

x 2

machst

x 2 = 3 - \frac{\sqrt{- 3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}

kommt da 1 raus.

wenn du

\frac{x 1 + x 2}{2} = \frac{2 + 1}{2} = 1,5

Das ist dein x-Wert des Scheitelpunktes. Den setzt du in deine Funktion ein und bekommst den y-Wert.

y = {1,5}^{2} - 3 \cdot 1,5 + 2 = - 0,25

SP(1,5|-0,25)

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Das selbe machst du für die zweite Funktion.

y = x^{2} + 0,5 x - 2

a = 1; b = 0,5; c = - 2

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Wenn ihr keine Ableitungen kennt, musst du die Aufgaben da oben auch mit der ABC-Formel lösen.
Du hast ja die Lösungen. Probier mal, ob du die Scheitelpunkte von