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Ableiten mit der Kettenregel

Schüler, Gymnasium, 11. Klassenstufe

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Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
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?

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Um verkettete Funktionen abzuleiten verwendet man die Kettenregel:

h (x) = f (g (x)) \Rightarrow h' (x) = f' (g (x)) \cdot g' (x)

Vorgehensweise

1) Bilde zunächst die Ableitung der äußeren Funktion (hier:

f)

und lasse die innere Funktion (hier:

g)

unverändert.

2) "Nachdifferenzieren": Nun wird die innere Funktion abgeleitet.

3) Produkt von

1)

und

2)

bilden.

Es gilt der Merksatz:

f

von "irgendwas" abgleitet ist $f$ abgeleitet von "irgendwas" mal "irgendwas" abgeleitet.

Beispiel

h (x) = cos (x^{2})

Hier ist

f (x) = cos (x)

(äußere Funktion)

und

g (x) = x^{2}

(innere Funktion)

1) Ableitung der äußeren Funktion (innere Funktion bleibt unverändert):

f' (x) = - sin (x^{2})

2) Ableitung der inneren Funktion:

g' (x) = 2 x

3) Produkt bilden:

h' (x) = f' (g (x)) \cdot g' (x) = - sin (x^{2}) \cdot 2 x

Beispiel

h (x) = e^{x^{2} + 2 x + 1}

Hier ist

f (x) = e^{x}

(äußere Funktion)

und

g (x) = x^{2} + 2 x + 1

(innere Funktion)

1) Ableitung der äußeren Funktion (innere Funktion bleibt unverändert):

f' (x) = e^{x^{2} + 2 x + 1}

(Die Ableitung von

e^{x}

ist gleich

e^{x})

2) Ableitung der inneren Funktion:

g' (x) = 2 x + 2

3) Produkt bilden:

h' (x) = f' (g (x)) \cdot g' (x) = e^{x^{2} + 2 x + 1} \cdot (2 x + 2)

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