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Ableitung Integral

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matheass12345

matheass12345 aktiv_icon

22:08 Uhr, 25.02.2017

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Hallo!

WIe kann man die 1. Ableitung und dann die Nullstellen von folgender Gleichung bilden ?

z(a)=aa+1r(t)dt

r(t)=0,31e-0,25t2+1,25t
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
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mihisu

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22:50 Uhr, 25.02.2017

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Von einer Gleichung kann man keine 1. Ableitung bilden. Von einer Funktion kann man die 1. Ableitung bilden. Von welcher Funktion hättest du denn gerne die Ableitung, von z oder von r?

Genauso haben Gleichungen keine Nullstellen. Funktionen oder Terme können Nullstellen haben. Ich gehe mal davon aus, dass die Nullstellen der 1. Ableitung gesucht sind (Hier wieder die Fragen 1. Ableitung von z oder von r?), da z und r beide keine (rellen) Nullstellen besitzen.

Ich nehme also im Folgenden an, dass du einen Funktionsterm für z' suchst, sowie die Nullstellen von z'.

\\\\

Sei R eine Stammfunktion von r, so dass also R'=r ist. Nach Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist dann für alle a:

z(a)=aa+1r(t)dt=R(a+1)-R(a)

Demnach ist dann nach bekannten Ableitungsregeln:

z'(a)=r(a+1)-r(a)

Benutzt man den Funktionsterm für r, den du angegeben hast, erhält man:

r(a+1)=0,31e-0,25(a+1)2+1,25(a+1)
r(a+1)=0,31e-0,25(a2+2a+1)+1,25(a+1)
r(a+1)=0,31e-0,25a2+0,75a+1

z'(a)=0,31e-0,25a2+0,75a+1-0,31e-0,25a2+1,25a
z'(a)=0,31e-0,25a2+0,75a+1(1-e0,5a-1)

Da für alle a der Faktor 0,31e-0,25a2+0,75a+1 größer als Null ist, also insbesondere ungleich Null ist, ist z'(a) genau dann gleich 0, wenn 1-e0,5a-1=0 ist, also wenn 0,5a-1=0 ist, also wenn a=2 ist.
Damit ist 2 die einzige Nullstelle von z'.
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Roman-22

Roman-22

23:05 Uhr, 25.02.2017

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r(a+1)-r(a)=0a=2
Sorry, hatte mihisus Antwort nicht angezeigt bekommen.

matheass12345

matheass12345 aktiv_icon

23:13 Uhr, 25.02.2017

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Eine frage zu z' in deinem letzten schritt: wie kann denn überhaupt eine e Funktion gleich 0 setzen? da sie ja tendenziell immer ungleich 0 ist...

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mihisu

mihisu aktiv_icon

23:35 Uhr, 25.02.2017

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Es ist ja keine e-Funktion, sondern eine Differenz von e-Funktionen. Und für alle x,y gilt:

ex-ey=0      ex=ey        x=y
matheass12345

matheass12345 aktiv_icon

23:43 Uhr, 25.02.2017

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sorry, dumme Frage. Aber eins ist mir trotzdem fraglich: wie kannst du erkennen, dass 0,31e0,25x2-0,75x-1 ungeich 0 bzw. größer 0 ist ?
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mihisu

mihisu aktiv_icon

00:08 Uhr, 26.02.2017

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Erst einmal habe ich nicht geschrieben, dass 0,31e0,25x2-0,75x-1 ungleich 0 ist (was übrigens auch richtig wäre), sondern dass 0,31e0,25a2-0,75a-1 ungleich 0 ist.

Denn für jeden Exponenten x ist ex0.
Bzw. lässt sich für jedes x sogar zeigen, das ex>0 ist.

Also ist insbesondere auch für x=0,25a2-0,75a-1
e0,25a2-0,75a-1>0.

Da außerdem offensichtlich auch 0,31>0 ist, folgt dass
0,31e0,25a2-0,75a-1>0
ist. (Wenn jeder Faktor positiv ist, ist das Produkt dieser Faktoren auch positiv.)
matheass12345

matheass12345 aktiv_icon

00:16 Uhr, 26.02.2017

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müsste es nicht lauten 0,31e-0,25a2-0,75a-1 lauten ?

und wie erkennst du(das war ja meine Frage), dass der Exponent im positiven Bereich ist???
Ich weiß, dass e ungleich 0 ist. Aber wie kann ich bsp. erkennen, dass sich die e Funkion auch nicht im negativen Bereich befinden könnte?
Antwort
mihisu

mihisu aktiv_icon

11:36 Uhr, 26.02.2017

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Ja, in meinem vorigen Beitrag habe ich mich vertan. Da habe ich falsch abgeschrieben. Es sollte 0,31e-0,25a2+0,75a+1. Mir ist auch aufgefallen, dass du das (bis auf eine Umbenennung von a zu x) auch da stehen hattest, nur dass du die e-Funktion in den Nenner eines Bruches umgeformt hast (Warum auch immer?).

"und wie erkennst du(das war ja meine Frage), dass der Exponent im positiven Bereich ist???"

Dass erkenne ich erst einmal nicht. Das muss ich auch nicht erkennen. Ich habe ja nicht erkannt dass der Exponent positiv ist, sondern, dass die Potenz e-0,25a2-0,75a-1 positiv ist. Denn das ist auch für negativen Exponenten der Fall. Beispielsweise: e-20,1353>0
Egal welchen reellen Exponenten x ich habe (auch für negatives x) gilt: ex>0

\\\\

Nun habe ich also erkannt das 0,31e-0,25a2+0,75a+1>0, also insbesondere 0,31e-0,25a2+0,75a+10 ist.

Ein Produkt ist dann gleich 0, wenn mindestens einer der Faktoren gleich 0 ist. Wenn ich also untersuchen möchte, wann
z'(a)=0,31e-0,25a2+0,75a+1(1-e0,5a-1)=0
ist, dann untersuche ich, wann die einzelnen Faktoren 0 werden.

Da 0,31e-0,25a2+0,75a+10 ist, kann dies dann nur für 1-e0,5a-1=0 der Fall sein. Und ...

1-e0,5a-1=0
  e0,5a-1=1
[Nun habe ich e0=1 bzw. ln(1)=0 ausgenutzt.]
  0,5a-1=0
  0,5a=1
  a=2