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Hallo! WIe kann man die 1. Ableitung und dann die Nullstellen von folgender Gleichung bilden ? |
Hierzu passend bei OnlineMathe: Ableitung (Mathematischer Grundbegriff) Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff) Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff) Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff) Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff) Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff) Flächenberechnung durch Integrieren Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff) |
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Von einer Gleichung kann man keine 1. Ableitung bilden. Von einer Funktion kann man die 1. Ableitung bilden. Von welcher Funktion hättest du denn gerne die Ableitung, von oder von r? Genauso haben Gleichungen keine Nullstellen. Funktionen oder Terme können Nullstellen haben. Ich gehe mal davon aus, dass die Nullstellen der 1. Ableitung gesucht sind (Hier wieder die Fragen 1. Ableitung von oder von r?), da und beide keine (rellen) Nullstellen besitzen. Ich nehme also im Folgenden an, dass du einen Funktionsterm für suchst, sowie die Nullstellen von . \\\\ Sei eine Stammfunktion von so dass also ist. Nach Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist dann für alle Demnach ist dann nach bekannten Ableitungsregeln: Benutzt man den Funktionsterm für den du angegeben hast, erhält man: Da für alle der Faktor größer als Null ist, also insbesondere ungleich Null ist, ist genau dann gleich wenn ist, also wenn ist, also wenn ist. Damit ist 2 die einzige Nullstelle von . |
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Sorry, hatte mihisus Antwort nicht angezeigt bekommen. |
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Eine frage zu in deinem letzten schritt: wie kann denn überhaupt eine Funktion gleich 0 setzen? da sie ja tendenziell immer ungleich 0 ist... |
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Es ist ja keine e-Funktion, sondern eine Differenz von e-Funktionen. Und für alle gilt: |
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sorry, dumme Frage. Aber eins ist mir trotzdem fraglich: wie kannst du erkennen, dass ungeich 0 bzw. größer 0 ist ? |
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Erst einmal habe ich nicht geschrieben, dass ungleich 0 ist (was übrigens auch richtig wäre), sondern dass ungleich 0 ist. Denn für jeden Exponenten ist . Bzw. lässt sich für jedes sogar zeigen, das ist. Also ist insbesondere auch für . Da außerdem offensichtlich auch ist, folgt dass ist. (Wenn jeder Faktor positiv ist, ist das Produkt dieser Faktoren auch positiv.) |
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müsste es nicht lauten lauten ? und wie erkennst du(das war ja meine Frage), dass der Exponent im positiven Bereich ist??? Ich weiß, dass ungleich 0 ist. Aber wie kann ich bsp. erkennen, dass sich die Funkion auch nicht im negativen Bereich befinden könnte? |
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Ja, in meinem vorigen Beitrag habe ich mich vertan. Da habe ich falsch abgeschrieben. Es sollte . Mir ist auch aufgefallen, dass du das (bis auf eine Umbenennung von a zu auch da stehen hattest, nur dass du die e-Funktion in den Nenner eines Bruches umgeformt hast (Warum auch immer?). "und wie erkennst du(das war ja meine Frage), dass der Exponent im positiven Bereich ist???" Dass erkenne ich erst einmal nicht. Das muss ich auch nicht erkennen. Ich habe ja nicht erkannt dass der Exponent positiv ist, sondern, dass die Potenz positiv ist. Denn das ist auch für negativen Exponenten der Fall. Beispielsweise: Egal welchen reellen Exponenten ich habe (auch für negatives gilt: \\\\ Nun habe ich also erkannt das also insbesondere ist. Ein Produkt ist dann gleich wenn mindestens einer der Faktoren gleich 0 ist. Wenn ich also untersuchen möchte, wann ist, dann untersuche ich, wann die einzelnen Faktoren 0 werden. Da ist, kann dies dann nur für der Fall sein. Und Nun habe ich bzw. ausgenutzt. |