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Abstand Punkte, Gerade, Ebene

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Tags: Vektorraum

morbach1234 aktiv_icon

13:35 Uhr, 27.07.2017

Servus Leute,

Bin bei einer Aufgabe gelandet bei der ich nicht weiter komme:

Es ist eine Gerade 1 gegeben welche mit Vektoren beschrieben wird. Diese soll einen Abstand von

20

zu einer parallelen Gerade 2 haben.

Wie bestimme ich nun Gerade 2?

Der Richtungsvektor kann ja der selbe bleiben da dieser ein vielfaches des Richtungsvektors aus Gerade 1 ist. Ich suche also nur noch nach dem Ortsvektor.

Würde mich über eine Hilfe sehr freuen :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hilarius

13:46 Uhr, 27.07.2017

Hallo!

Ohne gleich mit Formeln oder so aufzufahren, ein kleiner Denkanstoß,
etwas verworren formuliert (wenns nicht hilft setz ich gern nach :-) ):

Skizzen helfen oft!
Mit Abstand ist i.d.R. der Normalabstand gemeint.

Skizzier dir mal die Gerade 1 (d.h. mach einen Strich :-) ), setz das Geodreieck im Rechten Winkel an, zeichne von der Geraden 1 weg eine Strecke
(kannst ja behaupten, sie wär 20 Äpfel [LE] oder so lang),
und lege dann durch das Ende dieser Strecke eine zur Geraden 1 Paralelle durch.

Du brauchst also für die zweite Gerade, wie du schon erkannt hast, nur noch einen Ortsvektor (bzw. einen Punkt, der darauf liegt), die Richtung bleibt ja die Gleiche.

Wenn du von der ersten Geraden ja alles kennst - also einen Punkt (Ortsvektor) und den Richtungsvektor - dann könnte man ja von eben dem Punkt gerade 20 LE in Rechtwinkgligem Abstand - also im rechten Winkel zum Richtungsvektor - "weggehen", um so zum Punkt (Ortsvektor) für die neue Gerade zu kommen...

Klar soweit? :-)

Mfg

anonymous

13:48 Uhr, 27.07.2017

ℝ^{2}

oder

ℝ^{3}

morbach1234 aktiv_icon

14:27 Uhr, 27.07.2017

Hallo Hilarius,

erstmal vielen Dank für die Hilfestellung.

Soweit dachte ich auch schon, also ich würde den Normalvektor des Ortsvektoren von Gerade 1 bilden. Dieser steht ja senkrecht auf der Gerade 1. Nur wie komme ich jetzt auf einen Vektor also auf den ORtsvektor von Gerade 2? Stehe da etwas auf dem Schlauch

: (

Es sind 2 Aufgaben: eine im

R 3

und eine in

R 2

Hilarius

16:19 Uhr, 27.07.2017

Hallo!

Ich hoff, es stört nich zu sehr, wenn ich den "Ortsvektor" als "Punkt" bezeichne.
Unter Punkten kann man sich mMn. nämlich leichter was vorstellen :-)

Meine Erklärung bleibt vorerst eher grafisch im

ℝ^{2}

- in unserer Vorstellung
(wenns dir hilft, kann ich dann auch gern ein konkretes Beispiel nachreichen):

Du hast - da ja die Gleichung der Geraden 1 gegeben ist - einen Punkt auf der Geraden 1.
An diesen Punkt kannst du den zur Geraden 1 normalen Vektor "dranstückeln", und zwar, damit dein gewünschter Abstand erreicht wird, genau in der Länge, wie der Abstand eben sein soll;

Also setzen wir in den bekannten Punkt einen "Pfeil" mit Richtung des Normalvektors von der Geraden 1 und der Länge von 20 LE.
Damit landen wir dann bei einem neuen Punkt im Koordinatensystem (am Ende des Pfeils), das wäre dann der benötigte Punkt (Ortsvektor) für Gerade 2.

Da sowohl der Normalvektor als auch der Ortsvektor von Gerade 1 bekannt sind, sollte das rechnerisch (Vektoraddition bzw. Längenveränderung von Vektoren) dann kein Problem darstellen, wenn die Idee sitzt - auch im

ℝ^{3}

kann man dann ähnlich argumentieren.

(Nimm dazu zwei Stifte in die Hand und stells dir mal vor :-D))

PS: Ich hoff, es kommt dir nicht vor, als wollte ich mir die Lösung aus der Nase ziehen lassen, aber ich denke, grade bei solchen Beispielen ists wichtig, dass man selber etwas grübelt und v.A. sich drunter was vorzustellen versucht.

morbach1234 aktiv_icon

21:36 Uhr, 27.07.2017

Ich kann mir schon vorstellen wie diese Geraden im Raum liegen und wo dann der Normalvektor liegt .
Nur weiß ich leider immer noch nicht wie ich über den Normalvektor zu dem gesuchten Ortsvektor komme

: (

also wie ist da der Rechenweg?

Hilarius

23:05 Uhr, 27.07.2017

Schade, dass der Knoten nich aufging..

Vektor + Vektor = Vektor

Ortsvektor + Vektor = Ortsvektor
(würde man erkennen, wenn man die Vektoraddition grafisch darstellt).

Sei

g_{1} : \vec{X} = \vec{P} + u * \vec{a}

und

g_{2} : \vec{X} = \vec{Q} + v * \vec{b}

g_{2}

parallel zu

g_{1}

\Leftrightarrow \vec{b} = λ * \vec{a} (λ \in ℝ)

insbesondere wenn

\vec{b} = \vec{a}

.

Sei

\vec{n_{a}}

der Normalvektor zu

\vec{a}

Stutze auf die richtige Länge:

\frac{\vec{n_{a}}}{∣ \vec{n_{a}} ∣} * 20 = \vec{d}

Dieser Vektor

\vec{d}

ist nun 20 LE lang und steht normal zu

g_{1}

\vec{P} + \vec{d} = \vec{Q}

führt dann zum Gesuchten Ortsvektor von

g_{2}

.

mfg

morbach1234 aktiv_icon

07:57 Uhr, 28.07.2017

Guten Morgen Hilarius,

der Knoten hat sich über Nacht gelöst :-) Vielen dank

anonymous

08:01 Uhr, 28.07.2017

Und beachte noch, dass es in

ℝ^{3}

zu einer gegebenen Geraden unendliche viele andere Geraden in einem bestimmten Abstand gibt. In

ℝ^{3}

hat eine Gerade eine Normalebene.

Freddy123 aktiv_icon

13:05 Uhr, 28.07.2017

Hallo,

bei mir, lieber Morbach, hat sich der Knoten leider noch nicht gelöst.

Aber vielleicht könnte Hilarius uns seine Lösung einmal an einem konkreten Beispiel im

ℝ^{3}

vormachen, zumal er doch schreibt hat, "auch im

ℝ^{3}

kann man dann ähnlich argumentieren".

Ich würde vorschlagen:

g_{1} : \vec{x} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ 3 \end{matrix})

.

Wie ist dann die Parameterdarstellung von

g_{2}

(oder richtiger: von einer

g_{2}

aus der Menge der unendlich vielen möglichen) ??

Es grüßt

Freddy

Hilarius

16:08 Uhr, 28.07.2017

Hallo!

Gerne, und ich hoffe, ich kann helfen und meine Erklärungen taugen auch was! ;-)
Wird aber etwas länger, holt euch nen Kaffee oder so dazu...

Eigangs bin ich wieder "lästig" (bitte um Rückmeldung, ob im Kopf beim Lesen ein Bild entsteht):

Man stelle sich das Problem im

ℝ^{3}

anhand zweier Stifte vor, die man vor sich hält und als Geraden nimmt.

Wie hier schon richtig festgestellt wurde, gibts im

ℝ^{3}

nichtmehr nur den Normalvektor, sondern eine ganze "Normalebene" - ich sag immer, die Gerade steht normal zur Normalebene, aber das ist wohl wie die Geschichte mit dem "Meine Tasse ist halb voll/halb leer" ...

Jedenfalls, wenn man das ähnliche Problem (also eine Paralelle zu

g_{1}

im Abstand von 20 LE) im

ℝ^{3}

vor sich hat, gibt es, wie schon festgestellt, nun unendlich viele Möglichkeiten - ein zylindrischer Schlauch mit Durchmesser von 40 LE, wobei

g_{1}

genau durch den Mittelpunkt eben dieses Schlauches geht.

Lange Rede, kurzer Sinn - wir brauchen wieder eine Richtung, in der wir uns vom "Ortsvektor" der ersten Geraden

g_{1}

entfernen können.

Eine solche Richtung soll einer der unzählig vielen Normalvektoren sein.

Sei also

g_{1} : \vec{X} = (\begin{array}{rcl} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}) + λ * (\begin{array}{rcl} - 1 \\ 0 \\ 3 \end{array})

also

\vec{P} = (\begin{array}{rcl} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array})

\vec{a} = (\begin{array}{rcl} - 1 \\ 0 \\ 3 \end{array})

Ein zu

\vec{a}

normaler Vektor

{\vec{n_{a}}}_{j}

erfüllt folgende Bedingung:

\vec{a} * {\vec{n_{a}}}_{j} = 0

(Skalarprodukt muss Null sein).

Sei also

{\vec{n_{a}}}_{j} = (\begin{array}{rcl} x \\ y \\ z \end{array})

irgendeiner der unzähligen Normalvektoren
(Anm.: Die Normalebene spannt als Untervektorraum des

ℝ^{3}

den

ℝ^{2}

)

Dann gilt:

\vec{a} * {\vec{n_{a}}}_{j} = (\begin{array}{rcl} - 1 \\ 0 \\ 3 \end{array}) * (\begin{array}{rcl} x \\ y \\ z \end{array}) = - 1 * x + 0 * y + 3 * z \overset{!}{=} 0

Bei der entstehenden Gleichung hat man nun 2 Unbekannte (im Extremfall 3), da y ja wegfällt
(streng genommen bedeutet das "0*y", das es für das Ausgehen der Gleichung völlig "Wurscht" ist, welchen Wert y hat - daher ist

y \in ℝ

beliebig).
Um weiterzukommen, muss man / darf man nun eine der beiden Unbekannten "fixieren" (also beliebig wählen), die verbleibende muss dann passend ermittelt werden (im Extremfall hätten wir hier 2 Werte fixiert):

Sei also der Einfachheit halber x=3:

\Rightarrow - 3 + 3 z = 0 \Leftrightarrow z = 1

Also wäre einer der Normalvektoren, der unsere "Normalvektorbedingung" (Skalarprodukt = 0) erfüllt

{\vec{n_{a}}}_{j} = (\begin{array}{rcl} 3 \\ 1 \\ 1 \end{array})

Nun das Analoge Spiel wie im

ℝ^{2}

: Vektor zurechtstutzen, Addition.

\frac{{\vec{n_{a}}}_{j}}{∣ {\vec{n_{a}}}_{j} ∣} * 20 = : \vec{d}

\vec{P} + \vec{d} = \vec{Q}

und

g_{2} : \vec{X} = \vec{Q} + μ * \vec{a}

Numerisch:

\frac{{\vec{n_{a}}}_{j}}{∣ {\vec{n_{a}}}_{j} ∣} * 20 \approx (\begin{array}{rcl} 18.09 \\ 6.03 \\ 6.03 \end{array}) = : \vec{d}

\vec{P} + \vec{d} \approx (\begin{array}{rcl} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}) + (\begin{array}{rcl} 18.09 \\ 6.03 \\ 6.03 \end{array}) = (\begin{array}{rcl} 19.09 \\ 8.03 \\ 9.03 \end{array}) = \vec{Q}

g_{2} : \vec{X} = (\begin{array}{rcl} 19.09 \\ 8.03 \\ 9.03 \end{array}) + μ * (\begin{array}{rcl} - 1 \\ 0 \\ 3 \end{array})

So ist

g_{2}

eine zu

g_{1}

parallele Gerade im Raum im Abstand von 20 LE.
Davon gäbs aber noch reichlich :-)

Gruß

Freddy123 aktiv_icon

18:34 Uhr, 29.07.2017

Danke Hilarius für deine Mühe nach meiner "Meckerei".

Ich habe mir auch Gedanken gemacht, wie man zur Lösung kommt:
Ausgehend von dem Richtungsvektor

\vec{a}

der gegebenen Geraden

g_{1}

ist eigentlich nicht einzusehen, weshalb man, um einen zu

\vec{a}

senkrechten Vektor

\vec{n_{a}}

zu finden, den Stützvektor

\vec{P}

von

g_{1}

benötigt. Auch das LGS scheint mir überflüssig zu sein.

Genau wie man im 2-Dimensionalen zum Vektor

\vec{a} := (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \end{matrix})

sofort den dazu senkrechten Vektor

\vec{n_{a}} = (\begin{matrix} a_{2} \\ - a_{1} \end{matrix})

kennt, so kennt man auch im 3-dimensionalen zum Vektor

\vec{b} := (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix})

die dazu senkrechten Vektoren

\vec{n_{b_{1}}} := (\begin{matrix} b_{3} \\ 0 \\ - b_{1} \end{matrix}), \vec{n_{b_{1}}} := (\begin{matrix} b_{2} \\ - b_{1} \\ 0 \end{matrix})

und

\vec{n_{b_{1}}} := (\begin{matrix} 0 \\ b_{3} \\ - b_{2} \end{matrix})

.

Im vorliegenden Fall wäre somit zu

\vec{a} = (\begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ 3 \end{matrix})

der Vektor

\vec{n_{a}} = (\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

einer der zu

\vec{a}

senkrechten Vektoren.

Es grüßt

Freddy

Hilarius

19:05 Uhr, 29.07.2017

Hallo.

Freut mich, dassde was zustande gebracht hast :-)

Nur noch ein abschließender Kommentar:

Um einen zu

g_{1}

normalen Vektor zu finden, habe ich den Orstvektor

\vec{P}

nicht verwendet.

Lediglich die Bedingung für die Orthogonalität zweier Vektoren (im

ℝ^{n}, n \in ℕ

), die halt dann zu der Gleichung führt (von einem LGS würd ich an der Stelle nicht sprechen, da das bei mir dann mindestens 2 oder mehr Gleichungen sein müssten).

Ob man es nun so macht, oder sich so überlegt, wie du es vorschlägst, ist aber am Ende des Tages "wayne", denn es läuft letztlich auf einen völlig identen Gedanken - unter anderer Maske - hinaus.
Also: Geschmackssache :-)

PS:

\vec{P}

habe ich dann verwendet, um die ursprünglich gestellte Aufgabe zu lösen, nämlich eine 20LE (normal-) entfernte Gerade zur Geraden

g_{1}

aufzustellen.

mfg

Freddy123 aktiv_icon

16:25 Uhr, 30.07.2017

Hallo Hilatrius,

das kleine Problem ist so interessant, dass ich meinen Eintrag noch ergänzen darf:
Ich hatte daran erinnert, dass der Vektor

\vec{n_{a_{1}}} = (\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

ein zum Vektor

\vec{a} = (\begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ 3 \end{matrix})

senkrechter Vektor ist. Aber wie das bei mir so ist: das Einfache und eigentlich Evidente sieht man zuletzt. Denn dass der Vektor

\vec{n_{a_{2}}} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

auch senkrecht zu

\vec{a}

ist, ist doch sofort trivial erkennbar. Da

\vec{n_{a_{2}}}

bereits normiert ist mit
Länge

1,

kann ich weitermachen

\vec{d'} = \vec{n_{a_{2}}} \cdot 20 = (\begin{matrix} 0 \\ 20 \\ 0 \end{matrix})

\vec{Q'} = \vec{P} + \vec{d'} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 \\ 20 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 22 \\ 3 \end{matrix})

und erhalte als eine weitere dieser möglichen Geraden

g_{2}

\vec{X'} = \vec{Q'} + μ \cdot \vec{a} = (\begin{matrix} 1 \\ 22 \\ 3 \end{matrix}) + μ \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ 3 \end{matrix})

Interessanter ist die Frage: Wie stellt sich die Mannigfaltigkeit sämtlicher Geraden dar, die von einer gegebenen Raumgeraden einen Abstand

d = 20

haben? Dass diese Geradenmenge zweiparametrig ist, dürfte klar sein.

Gruß von

Freddy

oculus aktiv_icon

20:07 Uhr, 11.08.2017

Hallo,
die ursprünglich von Morbach gestellte Frage scheint auf allgemeines Interesse zu stoßen.

Mein Beitrag dazu:
Mit den von Freddy genannten Vektoren

\vec{n_{a_{1}}} = (\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

und

\vec{n_{a_{2}}} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

hat man zwei nicht kollineare Vektoren, deren beliebig gewählte Linearkombinationen

α \cdot \vec{n_{a_{1}}} + β \cdot \vec{n_{a_{2}}}

alle zum Richtungsvektor

\vec{a} = (\begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ 3 \end{matrix})

der Geraden

g

senkrecht sind. Normiert man einen solchen Vektor auf Länge 1 und multipliziert ihn mit der gewünschten Abstandslänge

d = 20

erhält man den Vektor

\frac{1}{\sqrt{α^{2} + 10 + β^{2}}} \cdot (\begin{matrix} 60 \cdot β \\ 20 \cdot α \\ 20 \cdot β \end{matrix})

. Die gesuchten Punkte

Q

und

R

auf den zu

g

im Abstand

d = 20

parallelen Geraden

g_{1}

und

g_{2}

haben dann die zugehörigen Ortsvektoren

\vec{Q} (α, β) = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) + \frac{1}{\sqrt{α^{2} + 10 \cdot β^{2}}} \cdot (\begin{matrix} 60 \cdot β \\ 20 \cdot α \\ 20 \cdot β \end{matrix}) \in g_{1}

bzw.

\vec{R} (α, β) = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) - \frac{1}{\sqrt{α^{2} + 10 \cdot β^{2}}} \cdot (\begin{matrix} 60 \cdot β \\ 20 \cdot α \\ 20 \cdot β \end{matrix}) \in g_{2}

.
Den von Hilarius errechneten Punktvektor

\vec{Q} (α, β)

erhält man für

α = β = 1;

er ist Ortsvektor des Punktes

Q (19,09 | 8,03 | 9,03) \in g_{1}

. Der zugehörige Punktvektor

\vec{R} (α, β)

dagegen geht zum Punkt

R (- 17,09 | - 4,03 | - 3,03] \in g 2

. Der Mittelpunkt aller Strecken

Q (α, β) R (α, β)

ist der Punkt

P (1 | 2 | 3)

auf der Geraden

g

.

Irrtum vorbehalten

!!

Gruß von
oculus

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