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Ähnlichkeit von Matrizen

Universität / Fachhochschule

Eigenwerte

Tags: Ähnliche Matrizen, Eigenwert, Jordansche Normalform

bibib3 aktiv_icon

22:20 Uhr, 29.04.2016

Bei der Aufgabe sind zwei Matrizen gegeben und die Frage ist, ob die beiden Matrizen ähnlich sind. Weiters soll man eine Matrix

T

angeben, falls sie existiert, mit

B = T^{- 1} \cdot A T

A = (\begin{matrix} - 1 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & - 1 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 \end{matrix})

B = (\begin{matrix} - 1 & 1 & - 1 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & - 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 \end{matrix})

Bei den Matrizen stimmen die char. Polynome, die Eigenwerte, die algebraischen und die geometrischen Vielfachheiten überein und haben (bis auf Reihenfolge der Jordanblöcke) dieselbe Jordanform, das heißt dann, dass A und

B

ähnlich sind.

Da sie ähnlich sind, muss es eine solche Matrix

T

geben.
Ich komme aber einfach nicht drauf wie man diese Matrix

T

bestimmen soll.
Ich hoffe jemand kann mir weiterhelfen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

mihisu aktiv_icon

00:27 Uhr, 30.04.2016

Schau nochmal, ob A und

B

bei dir wirklich die gleichen Jordan-Blöcke haben. Das ist nämlich nicht der Fall: Der größte Jordan-Block von A hat Größe 3. Bei

B

hat jedoch der größte Jordan-Block Größe 2.

A und

B

haben also NICHT die gleiche Jordan-Normalform, weshalb du da lange nach einer Transformationsmatrix

T

suchen kannst ohne sie zu finden.

Wie man im Allgemeinen ein solches

T

bestimmen könnte, wenn es denn möglich wäre:
Berechne die Transoformationsmatrizen

T_{A}, T_{B},

so dass

T_{A}^{- 1} \cdot A \cdot T_{A} = J = T_{B}^{- 1} \cdot B \cdot T_{B}

ist, wobei

J

die Jordan-Normalform ist. Dann ist:

B = T_{B} \cdot T_{A}^{- 1} \cdot A \cdot T_{A} \cdot T_{B}^{- 1} = {(T_{A} \cdot T_{B}^{- 1})}^{- 1} \cdot A \cdot T_{A} \cdot T_{B}^{- 1}

Dann könnte man

T = T_{A} \cdot T_{B}^{- 1}

wählen.

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