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Äquivalente Matrizen

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Äquivalenten Matrizen, Matrizenrechnung

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16:58 Uhr, 17.05.2012

Hallo zusammen,
ich sitze heute nun schon seit einigen Stunden vor der folgenden Aufgabe und bin allmählich ziemlich frustriert, da ich einfach nicht weiter komme, obwohl sie wohl eigentlich nicht so schwer ist. Ich hoffe daher, dass mir jemand helfen kann:

"Untersuchen Sie jeweils, ob die folgenden ganzzahligen Matrizen

A, B

äquivalent (über

ℤ)

sind, und bestimmen sie gegebenenfalls quadratische, ganzzahlige und ganzzahlig invertierbare Matrizen

S, T

mit

S \cdot A \cdot T = B

für
(a)

A = (\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{matrix})

und

B = (\begin{matrix} 8 \\ 12 \\ 6 \end{matrix})

aus

ℤ^{1 x 3}

(b)

A = (\begin{matrix} 4 & 5 & 6 & 0 \\ 7 & 8 & 10 & 0 \\ 40 & 30 & 1 & 11 \end{matrix})

und

B = (\begin{matrix} 3 & 6 & 9 & 0 \\ 12 & 15 & - 3 & 12 \\ 6 & - 6 & 18 & - 27 \end{matrix})

aus

ℤ^{3 x 4}

(c)

A = (\begin{matrix} 2 & 4 \\ - 2 & 2 \end{matrix})

und

B = (\begin{matrix} 0 & - 6 \\ 2 & 6 \end{matrix})

Also was ich weiss, ist das zwei Matrizen

A, B \in K^{n x m}

genau dann äquivalent sind, wenn es intervierbare Matrizen

S \in K^{n x n}

und

T \in K^{m x m}

gibt, sodass

B = S \cdot A \cdot T

gilt.
Bei der

a)

habe ich nun einfach das allgemeine Produkt

S \cdot A \cdot T

gebildet und konnte das dann relativ einfach lösen, sodass ich darauf kam dass A und

B

äquivalent sind und als Matrizen fand ich:

S = (1) T = (\begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix})

. Jedoch is das sicherlich nicht der Weg, den ich gehen soll, bei der

b)

funktioniert das zum Beispiel schon nicht mehr, da das allgemeine Produkt einfach viel zu groß/zu viele Variablen enthält.
Ferner haben wir im Skript den Satz

(\in

Bezug auf die Smith-Normalenform): Zwei Matrizen sind genau dann äquivalent, wenn ihre Elementarteiler (diagonaleinträge der Smith-Normalenform) übereinstimmen. Bei der

c)

komme ich als Smithnormalenform bei der

a)

auf: für

A : (\begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 6 \end{matrix})

für

B : (\begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & - 6 \end{matrix})

. Das hieße dass A und

B

nicht äquivalent sind oder?
Jedoch ist mir nicht klar, wie ich mein

S

und

T

bestimme sofern A und

B

äquivalent sind, wenn

B

nicht zufällig die Smith-Normalenform von A ist. Kann mir da jemand helfen und sagen, wie ich allgemein Äquivalenz am einfachsten überprüfe und

S

und

T

bestimmen kann? Wäre sehr erfreut.
Vielen Dank im Vorraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
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