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Analysis

Schüler

Tags: Analysis, Koordinaten, reelle Funktion

SimbasNala aktiv_icon

09:46 Uhr, 05.04.2015

Ich habe eine Aufgabe bei der ich überhaubt keine Ahnung habe.

Gegeben sind die reelen Funktionen

f_{a} : f_{a}

(x)=(x-a)²*

e^{x} - a, a \in R, a > 0

.
Die Graphen der Funktion

f_{a}

werden

G_{a}

bezeichnet.

5.1.0

In dieser Teilaufgabe gilt

a = 2

5.1.1

Geben sie die Koordinaten der Achsenschnittpunkte von

G_{2}

an.

5.1.2

Bestimmen sie rechnerisch die Koordinaten und die Art der relativen Extrempunkre von

f_{2}

5.1.3

Ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente

t

G_{2}

im Punkt

P (1; f_{2} (1))

5.1.4

Skizzieren Sie

G_{2}

im Intervall

[- 4; 2,5]

in ein kartesisches Koordinatensystem.

5.1.5

Durch den Graphen

G_{2}

und die

x

Achse werden zwei Teilflächen vollständig begrenzt. Kennzeichnen Sie diese Flächen in der Skizze

(5.1.4)

und ermitteln Sie das Verhältnis der Inhalte dieser Teilflächen zueinander.

5.2.0

In dieser Teilaufgabe gilt

a \in R, a > 0

5.2.1

Bestimmen Sie den Parameter a für den Fall, dqass der Graph von

f_{a}

durch den Punkt

0 (0; 0)

verläuft.

5.2.2

Jeder der Graphen

G_{a}

hat genau zwei Extremstellen. Berechnen Sie diese Extremstellen in Abhängigkeit von a

So nun nochmal meine Frage.

5.1.1

hab ich weiß aber allerdings nicht ob es stimmt.Es wäre super wenn ihr mir die Aufgabe komplett machen könntet damit ich meine versuche damit vergleichen kann. Und wenn es geht auch ein paar Tips /Rechenwege wie ihr darauf kommt.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Femat aktiv_icon

09:56 Uhr, 05.04.2015

Bei mir sieht das so aus. Bei dir?

SimbasNala aktiv_icon

10:04 Uhr, 05.04.2015

bei mir sieht das so aus.

Atlantik aktiv_icon

10:09 Uhr, 05.04.2015

{(x - 2)}^{2} \cdot e^{x} - 2 \neq {(x - 2)}^{2} + e^{x} - 2

mfG

Atlantik

SimbasNala aktiv_icon

10:13 Uhr, 05.04.2015

Was möchtest du mir damit sagen?

Femat aktiv_icon

10:19 Uhr, 05.04.2015

ja genau Atlantik, habs auch gerade gesehen.
Damit siehts bei mir so aus.

SimbasNala aktiv_icon

10:22 Uhr, 05.04.2015

Sorry ich versteh nur Bahnhof könnt ihr erklären was genau ihr gerade macht

Femat aktiv_icon

10:30 Uhr, 05.04.2015

Entschuldigung SimbasNala
Ich hatte ein Malzeichen als Plus geschrieben.
Jetzt wo ich auch die Einheiten gleich gross zeichne bin ich bei deiner Lösung nahe.

SimbasNala aktiv_icon

10:31 Uhr, 05.04.2015

oh :-)
okay gut also hab ich doch nichts falsch gemacht :-D)

so und nun zu

5.1.2

:-)
Wie genau macht man das?

Respon

10:42 Uhr, 05.04.2015

5.1.1 .

mit Näherungsverfahren ( oder man läßt den Computer arbeiten ).

5.1.5

\int ({(x - 2)}^{2} \cdot e^{x} - 2) d x = \int ({(x - 2)}^{2} \cdot e^{x}) d x - 2 \cdot x [+ C]

\int ({(x - 2)}^{2} \cdot e^{x}) d x =

?
Entweder partielle Integration oder allgemeiner Ansatz mit Koeffizientenvergleich.

\int ({(x - 2)}^{2} \cdot e^{x}) d x = e^{x} \cdot (a \cdot x^{2} + b \cdot x + c)

\Rightarrow [e^{x} \cdot (a \cdot x^{2} + b \cdot x + c)]' = e^{x} \cdot [a \cdot x^{2} + (b + 2 \cdot a) \cdot x + (c + b)]

Koeffizientenvergleich mit dem Integranden ergibt:

a = 1; b = - 6; c = 10

\Rightarrow

\int ({(x - 2)}^{2} \cdot e^{x}) d x = e^{x} \cdot (x^{2} - 6 \cdot x + 10)

[+ C]

Die restlichen Aufgaben für

a = 2

sind dann problemlos.

SimbasNala aktiv_icon

10:45 Uhr, 05.04.2015

was meinst du denn mit Näherungsverfahren?

Respon

10:47 Uhr, 05.04.2015

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse zu erhalten, müsste man die Gleichung

{(x - 2)}^{2} \cdot e^{x} - 2 = 0

lösen.

SimbasNala aktiv_icon

10:50 Uhr, 05.04.2015

Brauche ich für die Extrempunkte nicht die erste und zweite Ableitung?

Respon

10:52 Uhr, 05.04.2015

Ja, das wäre dann schon Frage

5.1.2

SimbasNala aktiv_icon

10:57 Uhr, 05.04.2015

naja bei

5.1.1

brauche ich ja keinen Rechenweg.
Bei

5.1.2

hänge ich gerade ein wenig.

Könntest du mir die Ableitungen geben?
Ich habe: 1 Ableitung:

f' (x) = e^{x} (x - 2) [\cdot 2 x (x - 2)]

ist das richtig?
und wie komme ich zur zweiten ableitung?

Respon

10:58 Uhr, 05.04.2015

Wie hast du

5.1.1

. gerechnet ?

SimbasNala aktiv_icon

11:00 Uhr, 05.04.2015

Habe ich nur aus dem Taschenrechner übernommen da müssen wir keinen Rechenweg angeben.

Respon

11:03 Uhr, 05.04.2015

Das ist natürlich dann sehr bequem.

f' (x) = e^{x} \cdot (x - 2) \cdot x

f' (x) = 0 \Rightarrow . .

.
( zweite Ableitung später )

SimbasNala aktiv_icon

11:06 Uhr, 05.04.2015

Also ist meine erste Ableitung sozusagen falsch :-)

kannst du mir sagen was ich falsch gemacht habe?
Wie kommst du darauf.

Hab es gerade nochmal mit dem Taschenrechner nachgerechnet. Der sagt wieder was ganz anders:

x^{2} \cdot e^{x} - 2 \cdot e^{x}

Respon

11:15 Uhr, 05.04.2015

f' (x) = e^{x} \cdot (x - 2) \cdot x

Da ich deinen Rechengang nicht sehe, kann ich auch deinen Fehler nicht sehen.
Beim Differenzieren fällt vorerst

- 2

weg.
Der übrige Term wird mit der Produktregel bearbeitet.

e^{x} \cdot {(x - 2)}^{2} \Rightarrow e^{x} \cdot {(x - 2)}^{2} + e^{x} \cdot 2 \cdot (x - 2) = e^{x} \cdot (x - 2) \cdot x

f' (x) = 0 \Rightarrow x = 2 \lor x = 0

SimbasNala aktiv_icon

11:33 Uhr, 05.04.2015

okay danke

ich weis das man das sicherlich nicht anders erklären kann aber ich weis nicht wie man so genau darauf kommt.

kannst du mir die zweite ableitung geben?

um die extrempunkte zu berechnen muss ich diese ja 0 setzen und

min

oder

max

bestimmen oder?

Respon

11:38 Uhr, 05.04.2015

Wir haben als Kandidaten für die Extremwerte die Stellen

x = 0

bzw.

x = 2

erhalten.
Im vorliegenden Fall können wir uns die zweite Ableitung ersparen, wenn wir die dazugehörigen Funktionswerte vergleichen.

x = 0 \Rightarrow f (0) = 2 (

Achsenabschnitt

!)

x = 2 \Rightarrow f (2) = {(2 - 2)}^{2} \cdot e^{2} - 2 = - 2

\Rightarrow H (0 | 2)

und

T (2 | - 2)

( Wenn man die zweite Ableitung 0 setzt, so erhält man die Wendepunkte. )

SimbasNala aktiv_icon

11:55 Uhr, 05.04.2015

Aber wenn ich das Beweisen muss das das ein

max

oder

min

ist muss ich da die ableitung nicht machen?

also sonst hab ich ja keinen richtigen rechenweg oder?

Respon

12:03 Uhr, 05.04.2015

Da wir hier sehr einfache Zahlenwerte haben ( und den Graph ) wäre es nicht notwendig.
Aber wenn du willst:

f' (x) = e^{x} \cdot (x - 2) \cdot x = e^{x} \cdot (x^{2} - 2 \cdot x)

f'' (x) = e^{x} \cdot (x^{2} - 2 \cdot x) + e^{x} \cdot (2 \cdot x - 2) = e^{x} \cdot (x^{2} - 2)

f'' (0) = e^{0} \cdot (0 - 2) = 1 \cdot (- 2) = - 2 \Rightarrow

An der Stelle

x = 0

haben wir ein Maximum

f'' (2) = e^{2} \cdot (4 - 2) = e^{2} \cdot 2 > 0 \Rightarrow

An der Stelle

x = 2

haben wir ein Minimum

SimbasNala aktiv_icon

12:31 Uhr, 05.04.2015

Okay gut das hab ich soweit verstanden

5.1.5

hattest du ja schon geschrieben.

5.1.3

wie bekomme ich die tangente

T

raus

Roman-22

12:32 Uhr, 05.04.2015

> Aber wenn ich das Beweisen muss das das ein max oder min ist muss ich
> da die ableitung nicht machen?
> also sonst hab ich ja keinen richtigen rechenweg oder?

Du meinst die Überprüfung mit den nächsthöheren Ableitungen um die Art des Extremwerts zu bestimmen? Du müsstest solange ableiten und die Stelle in die Ableitung einsetzen bis du erstmals nicht Null erhältst. Jetzt kommt es darauf an, ob der Ableiungsindex gerade oder ungerade ist. Ist er gerade, liegt ein relatives Extremum vor und das Vorzeichen des Ableitungswertes gibt an, ob es sich um ein Minumum oder Maximum handelt.
Ja, das ist eine saubere und gut dokumentierbare Möglichkeit der Überprüfung und ich würde sie hier auch empfehlen.

Was Respon vermutlich gemeint ist Folgendes: Du hast genau zwei Stellen herausbekommen, an denen der Graph der Funktion waagrechte Tangenten hat. Da liegt die Vermutung nahe, dass jener mit dem kleineren Ordinatenwert ein Minimum und der andere ein lokales Maximum ist. Der Plot des Graphen unterstützt diese Vermutung, wenngleich er auch kein Beweis dafür sein kann. Um nun sauber zu zeigen, dass es tatsächlich so ist müsstest du noch zwei Dinge zeigen:
1) die Funktion ist im Intervall zwischen den beiden betrachteten Stellen stetig
2) An keiner der beiden Stellen liegt ein Terrassenpunkt vor.
Um 2) zu zeigen würde es hier reichen, wenn du zeigst, dass die zweite Ableitung an den Stellen ungleich Null ist.
Damit hättest du mit dieser Argumentation recht viel Schreibaufwand, weil du ja begründen musst, und die zweite Ableitung könntest du dir trotzdem nicht sparen.

Wie schon gesagt - ich empfehle dir die "klassische" Vorgangsweise.

Irgendwie hab ich hier aber das Gefühl, dass du versuchst, uns (bzw. Respon) das Beispiel Schritt für Schritt vorrechnen zu lassen, ohne dass von dir irgendwelche Ans
ätze oder sonstige Vorleistungen kommen. Das Einzige was du, soweit ich das überblicke, geliefert hast, war eine falsche erste Ableitung der Funktion.

Wie sieht also zB dein Ansatz betr. der Tangentengleichung aus? Tipp ein!

Gruß R

Respon

12:40 Uhr, 05.04.2015

Tangente: Es geht um den Punkt

P (1 | f (1))

Voererst

f (1)

bestimmen

\Rightarrow P (1 | e - 2)

Für die Tangentengleichung gibt es mehrere Möglichkeiten ( je nach den Methoden, die ihr bisher verwendet habt ).

z . B

.
Allgemeiner Ansatz

t : y = k \cdot x + d

Den Anstieg

k

erhält man durch die erste Ableitung an der Stelle

x = 1

.
Da die Koordinaten von

P

die Tangentengleichung "erfüllen" müssen, kann man so

d

berechnen.
Punkt - Richungsform

t : y - y_{1} = k \cdot (x - x_{1})

Dabei ist

k

wieder der Anstieg und

x_{1}, y_{1}

die Koordinaten von

P

Lineare Approximation

t : y = f (1) + f' (1) \cdot (x - 1)

oder

...

Respon

12:46 Uhr, 05.04.2015

So, muss leider offline gehen ( Der Osterhase wartet schon mit dem Ostermahl ).
Weiterhin noch viel Spaß ( respektive "Glück" ).

SimbasNala aktiv_icon

12:49 Uhr, 05.04.2015

@Roman

22

das ist ganz richtig das ich ziemlich viel hilfe brauche...

das was wir gerade rechnen ist eine prüfungsaufgabe für das technische Hochschulabi.
Ich habe leider keinen lösungsansatz für die Tangente

t

weil ich sowas noch nicht machen musste. Deswegen bin ich ja hier um mir das erklären zu lassen

@ Respon
danke für deine Hilfe.

ich würde jetzt den allgemeinen ansatz benutzen wollen da ich leider keinerlei vorkentnisse habe. ich versuche das erstmal und schreibe dann meine ergebnisse.

SimbasNala aktiv_icon

13:04 Uhr, 05.04.2015

so ich habe einen lösungsansatz:

y = f_{2}

=(1)=(1-2)²*

e^{1} - 2

y = f_{2} = 0,718

m = e^{x} \cdot (x - 2) \cdot x

m = e^{1} \cdot (1 - 2) \cdot 1

m = - 2,71

t = y = m \cdot x + n

0,718 = - 2,17 \cdot 1 + n

n = 3,428

t = y = - 2,71 \cdot x + 3,428

Ist das nachvollziehbar und vor allem richtig?

dann hab ich nochwas zu

5.1.5

\int_{0}^{1,239} [{(x - 2)}^{2} \cdot e^{x} - 2] d x = 1,67

\int_{0}^{2,42} [{(x - 2)}^{2} \cdot e^{x} - 2] d x = - 1,49

1,67 > - 1,49

ist das richtig?

zu

5.2.1

ich habe in die ausgangsfunktion

f_{a} (x)

den punkt

(0; 0)

eingesetzt

d . h

0 = {(0 - a)}^{2} \cdot 1 - a

und das habe ich nach a aufgelöst

0 = a^{2} - a

a_{1} = 0

a_{2} = 1

so das ist meine Lösung :-D) kann das so richtig sein?

Roman-22

15:22 Uhr, 05.04.2015

"
so ich habe einen lösungsansatz:

y=f2 =(1)=(1-2)²* e1-2
"
eher:

f_{2} (1)

und nicht

f_{2} = (1)

und besser

y_{1} = \dots

oder

y (1) = \dots

"
y=f2=0,718
"
Es ist besser, den genauen Wert anzugeben. Hier also

y_{1} = e - 2

Gerundete Werte erst bei Endergebnissen und dort auch als gerundet kennzeichnen!

"
m=e^x⋅(x-2)⋅x
m=e^1⋅(1-2)⋅1
m=-2,71
"
Das ist falsch, auch wenn der Rechengang stimmt. Nicht nur weil du gerundet hast, sondern vor allem weil du falsch gerundet hast!

Richtig wäre:

m = - e \approx - 2, 72

Außerdem ist es recht inkonsequent, einmal auf 3 Nachkommastellen genau zu runden und dann nur auf zwei. Obwohl, da könnte man noch argumentieren, dass es in beiden Fällen drei signifikante Ziffern sind. Später und im Ergebnis gibst du aber n mit drei Nachkommastellen und somit vier signifikanten Stellen an.
Aber wie schon gesagt - die Rechnung sollte bis zuletzt mit den genauen Werten durchgeführt werden und bestenfalls das Ergebnis gerundet sein. Außerdem muss die Rundung als solche erkennbar sein (

\approx

-Zeichen verwenden).
Im äußersten Notfall (aber nicht empfehlenswert bei so einfachen ekaten Ergebnissen wie hier) ist es möglich, die Werte in den Speichern deines Taschenrechners aufzubewahren und weiterführende Rechnungen mit diesen Werten durchzuführen. Das ist zwar nicht exakt, aber die Taschenrechnergenauigkeit wird im allgemeinen trotz Fehlerfortpflanzung ausreichen, um das Endergebnis korrekt gerundet auf 3 oder 4 Nachkommastellen angeben zu können. Was aber auf keine Fall "geht" ist, einfach mit den auf zwei bis drei Stellen gerundeten Werten weiter zu rechnen!

"
t=y=m⋅x+n
"
Das machst du am Besten so, wie ihr es vom Unterricht her gewohnt seid.
Ich würde hier

t : y = m \cdot x + n

vorschlagen.
Eventuell noch

t (x) = m \cdot x + n

.

"
0,718=-2,17⋅1+n
n=3,428
"
Ich habs nicht nachgerechnet. Ist das Ergebnis nur durch Verwendung der (z.T. falsch) gerundeten Werte so falsch geworden? Ich vermute, dass du mit den oben angegebenen gerundeten Werten weiter gerechnet hast. Das ist ein böser Fehler!

Richtig ist jedenfalls

n = 2 \cdot e - 2 \approx 3, 437

.

"
t=y=-2,71⋅x+3,428
"

Wie schon geschrieben:

t : y = - e \cdot x + (2 \cdot e - 2) \approx - 2, 718 \cdot x + 3, 437

Gruß R

Roman-22

15:48 Uhr, 05.04.2015

"
dann hab ich nochwas zu 5.1.5

∫01,239[(x-2)2⋅ex-2]dx=1,67

∫02,42[(x-2)2⋅ex-2]dx=-1,49

1,67>-1,49

ist das richtig?
"
Gut möglich, dass die Werte richtig berechnet wurden nur hat diese Rechnung mit der Aufgabenstellung in 5.1.5 nicht viel zu tun.
1) Es geht hier um Flächeninhalte und die sind bei Aufgabenstellungen wie dieser wohl immer als positiv anzunehmen (auch wenn der Wert einer bestimmte Integrals gelegentlich als orientierter Flächeninhalt bezeichnet wird und somit auch negativ sein kann).
2) Das Ergebnis in 5.1.5 soll ein Verhältnis sein und nicht die Aussage, welche Wert größer ist.
3) Du sollst ja die beiden Teilflächen, um die es hier geht, in der Zeichnung schraffieren. Hast du das schon gemacht? Wenn ja, dann poste die Skizze doch hier. Du hast jedenfalls einen groben Ansatzfehler. Überlege doch einmal, welche "Flächen" du mit deinen beiden Integralen berechnest und was die tatsächlichen Integralgrenzen sein müssten.
Jedenfalls hat die Stelle

x = 0

für diese Aufgabe keinerlei Bedeutung und du wirst wohl auch noch die dritte (negative) Nullstelle der Funktion ins Spiel bringen müssen.

Zu deiner Kontrolle: Das Verhältnis der beiden Flächeninhalte ist

A_{1} : A_{2} \approx 2, 7998 : 1

oder auch

A_{1} : A_{2} \approx 1 : 0, 3572

Gruß R

Roman-22

16:05 Uhr, 05.04.2015

"
zu 5.2.1

ich habe in die ausgangsfunktion fa(x) den punkt (0;0) eingesetzt
d.h.

0=(0-a)2⋅1-a

und das habe ich nach a aufgelöst

0=a2-a
a1=0
a2=1

so das ist meine Lösung :-D)) kann das so richtig sein?
"

Guter Ansatz.
Du hast nur in der Angabe überlesen, dass a>0 sein soll. Daher ist a=1 die einzige Lösung (über dieser vorgegebenen Grundmenge).

Gruß R

SimbasNala aktiv_icon

16:47 Uhr, 05.04.2015

Danke aufjedenfall erstmal ich schau es mir heute abend nochmal genauer an wo meine Fehler waren und schreibe nochmal fals ich noch fragen habe.
Danke und einen schönen Rest oster Sonntag

SimbasNala aktiv_icon

08:20 Uhr, 06.04.2015

So ich habe mich damit nochmal beschäftigt.

ich habe bei

5.1.5

nochmal eine frage.

ich bin der Meinung das die Teilflächen (siehe bild) gemeint sind.
Ist das richtig oder welche teilflächen hast du gedacht?

dann nochmal zu der

5.1.3

.

du hattest geschrieben:
"

y = f 2 = 0,718

"
Es ist besser, den genauen Wert anzugeben. Hier also y1=e−2
Gerundete Werte erst bei Endergebnissen und dort auch als gerundet kennzeichnen!
"

was meinst du mit : y1=e−2?

bei der aufgabe verstehe ich irgendwie gerade gar nichts was du da meinst

: (

also das ergebnis ist jetzt:
t:y=−e⋅x+(2⋅e−2)≈−2,718⋅x+3,437?

ich komme da nicht drauf...

Respon

08:37 Uhr, 06.04.2015

Es ist in der Mathematik üblich, Ergebnisse in "geschlossener" Form anzugeben, und nicht mit gerundeten Dezimalzahlen.
In "geschlossener" Form läßt sich auch die Struktur eines Ergebnisses besser verdeutlichen.
Also

t : y = - e \cdot x + 2 \cdot (e - 1)

Man sieht dann sofort, dass der Anstieg

- e

ist und der Abschnitt auf der y-Achse

2 \cdot (e - 1)

Angabe:
"Durch den Graphen

G 2

und die

x

Achse werden zwei Teilflächen vollständig begrenzt."
Ja, das sind die Flächen zwischen zwischen den Grenzen

- 2,15592

und

1,23876

respektive

1,23876

und

2,42142

.
Bei Flächeninhalten sollte man immer mit Beträgen arbeiten.

Respon

08:42 Uhr, 06.04.2015

5.2.2

Jeder der Graphen

G_{a}

hat genau zwei Extremstellen. Berechnen Sie diese Extremstellen in Abhängigkeit von

a

.

"genau zwei" ist eine exakte mathematische Formulierung ( nicht mehr als zwei und auch nicht weniger als zwei ) und muss hier in die Beweisführung einfließen. Es genügt also nicht, zwei Ergebnisse zu berechnen. Man muss auch zeigen, dass es nicht mehr als zwei Ergebnisse gibt, aber auch nicht weniger.

SimbasNala aktiv_icon

08:48 Uhr, 06.04.2015

okay gut

und um auf die zwei Extremstellen bei

5.2.2

zu kommen brauche ich da doch sicherlich wieder die Ableitungen oder?

Respon

08:50 Uhr, 06.04.2015

Ja, diesmal musst du aber den Parameter "mitschleppen".
"Berechnen Sie diese Extremstellen in Abhängigkeit von a"

SimbasNala aktiv_icon

08:58 Uhr, 06.04.2015

okay dann mache ich das erstmal fertig und melde mich wieder bei neuen fragen :-)

SimbasNala aktiv_icon

10:26 Uhr, 06.04.2015

So ich habe nun alle aufgaben fertig und würde gerne wissen ob das so stimmt bzw. eine kleine frage steht noch offen doch dazu am ende.

5.1.1

S_{y} (0; 2)

S_{x} 1 (- 2,156; 0)

S_{x} 2 (1,239; 0)

S_{x} 3 (2,42; 0)

5.1.2

f_{2} (x) = {(x - 2)}^{2} \cdot e^{x} - 2

f_{2}' (x) = e^{x} \cdot {(x - 2)}^{2}

f_{2}' (x) = e^{x} \cdot {(x - 2)}^{2} + e^{x} \cdot 2 \cdot (x - 2)

f_{2}' (x) = e^{x} \cdot (x - 2) \cdot x

f_{2}'' (x) = e^{x} \cdot (x^{2} - 2 x \cdot x) + e^{x} \cdot (2 \cdot x - 2)

f_{2}'' (x) = e^{x} \cdot (x^{2} - 2)

f_{2}' (x) = 0

0 = e^{x} \cdot (x - 2) \cdot x

e^{x} \neq 0

0 = (x - 2) \cdot x

0 = x^{2} - 2

x_{E} 1 = 0

x_{E} 2 = 2

f_{2} (0) = {(0 \cdot (- 2))}^{2} \cdot e^{0} - 2 = 2 y_{E} 1 = 2

f_{2} (2) = {(2 \cdot (- 2))}^{2} \cdot e^{2} - 2 = - 2 y_{E} 2 = - 2

P_{E} 1 (0; 2) \to

P_max

f'' (0) = e^{0} \cdot (0^{2} - 2) = - 2 < 0 \to

Max

P_{E} 2 (2; - 2) \to

P_min

f'' (2) = e^{2} \cdot (2^{2} - 2) = 14,78 > 0 \to

Min

5.1.3

t = y = m \cdot x + n y = f_{2} (1) = {(1 - 2)}^{2} \cdot e^{1} - 2

y = f_{2} = 0,72

0,72 = - 2,71 \cdot 1 + n

n = 3,43 m = e^{x} \cdot (x - 2) \cdot x

t = y = - 2,71 x + 3,43 m = e^{1} \cdot (1 - 2) \cdot 1

m = - 2,71

5.1.4

siehe bild

5.1.5

\int_{- 2,156}^{1,239} ({(x - 2)}^{2} \cdot e^{x} - 2) \cdot d x

=4,17FE

= A 1

\int_{1,239}^{2,42} ({(x - 2)}^{2} \cdot e^{x} - 2) \cdot d x

=1,49FE

= A 2

A 1 : A 2 = 2,7987 : 1

\to A 1

ist

2,7987

größer als

A 2

5.2.1

y = f_{a} (x) = {(x - a)}^{2} \cdot e^{x} - a 0 (0; 0)

0 = {(0 - a)}^{2} \cdot 1 - a

0 = a^{2} - a

a_{1} = 0 \to

entfällt

a_{2} = 1

5.2.2

dazu habe ich nur einen Lösungsansatz weil ich mir da ziemlich unsicher bin

f_{2}' (x) = e^{x} \cdot (x - 1) \cdot x

0 = (x - 1) \cdot x

0 = x^{2} - 1 x

x_{E} 1 = 1 y_{E} 1 = - 1

(Pmin)

x_{E} 2 = 0 y_{E} 2 = 0

allerdings habe ich mit dem Taschenrechner etwas anderes bei Pmax

Pmax(

- 1; 0,47)

Respon

10:41 Uhr, 06.04.2015

Bei

5.1.2

ist das Ergebnis zwar richtig, die Schreibweise in der zweiten Zeile stimmt nicht

f_{2}' (x) = ... .

. das ist nicht die Ableitung.

5.1.3 .

Das Ergebnis steht ja schon detailliert oben, deine Schreibweise

t = y = ...

. ist nicht korrekt.

t : y = . .

5.1.5

.
Wurde oben schon vorgerechnet.

5.2.2

.
Leider nein. Du rechnest mit dem Parameter

a = 2

. Du sollst aber ALLGEMEIN mit a rechnen, also muss

a

in der ersten Ableitung auch vorkommen.

Deine Ergebnisse sind schwer zu lesen, da du zwischen den verschiedenen Termen keine Abstände einfügst. Man weiss also nie, wo etwas endet oder beginnt.

Vorrangig aber

5.2.2

Respon

10:57 Uhr, 06.04.2015

Zur Überprüfung deiner ersten Ableitung ( mit dem Parameter

a)

kannst du "Wolfram" verwenden.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=derivate+%28x-a%29^2*e^x-a

...

. so, die Pflicht ruft. Bin in der nächsten Zeit wieder offline.
Gutes Gelingen !

SimbasNala aktiv_icon

11:02 Uhr, 06.04.2015

also meinst du damit das meine Lösung von

5.1.5

falsch ist?

Respon

11:06 Uhr, 06.04.2015

Ich hab's nicht nachgerechnet, aber siehe Roman-22

05.04.2015

15 : 48

.
Und von

5.2.2 .

ist ja noch gar nix da.

Respon

11:13 Uhr, 06.04.2015

Hab' die Flächen schnell nachgerechnet.

A_{1} = 4,17381

A_{2} = 1,49077

Deine Ergebnisse scheinen zu stimmen.
Auch beim Verhältnis habe ich das Gleiche wie du.

SimbasNala aktiv_icon

11:24 Uhr, 06.04.2015

danke dir.

Aber bei

5.2.2

komme ich trotzdem nicht weiter.

ich habe jetzt die erste ableitung versucht zu machen aber naja das ist mir nicht so super gelungen.

habe dann deinen link versucht und habe die ableitung verwedent damit ich weiter komme.

Um die Extremstellen zu berechnen habe ich dann die ableitung 0 gesetzt

f_{a}' (x) = e^{x} (a^{2} - 2 a (x + 1) + x \cdot (x + 2))

e^{a} \neq 0

0 = (a^{2} - 2 a (a + 1) + a \cdot (a + 2)

0 = (a^{2} - 2 a^{2} - 2 a + a^{2} + 2^{a})

meine Lösung ist 0

aber ich bezweifel das das so richtig ist

ISt mein ansatz wenigstens richtig?

ledum aktiv_icon

11:52 Uhr, 06.04.2015

Hallo

5.22

ist doch wie das was du schon für

a = 2

gerechnet hast, aber jetzt eben nicht 2 sondern a

1 -

Schritt: allgemein Ableitung von fa
2. Schritt

e^{x}

ausklammern
3. Schritt Klammer

= 0

setzen, du sollst dabei

x_{1}

und

x_{2}

rausfinden, die noch von a abhängen.
Gruß0 ledum

Roman-22

12:26 Uhr, 06.04.2015

>

also meinst du damit das meine Lösung von

5.1.5

falsch ist?
Nicht falsch, aber wieder einmal ungenau.
Wahrscheinlich hast du die per TR numerisch ermittelten Nullstellen für die Flächenberechnung neu (und verkürzt) eingetippt, anstatt diese im Rechnerspeicher abzulegen und von dort zu verwenden.
Dein Ergebnis

(2,7987)

weicht geringfügig vom genaueren Ergebnis

2,7997672468 . .

. ab (welches du auch mit den von Reson genannten Flächenwerten bekommst).
Ein wirklich genaues Ergebnis kann man hier nicht angeben, da die Integralgrenzen, also die Nullstellen der Funktion, nicht in geschlossener Form und damit exakt darstellbar sind. Wir müssen uns hier auf das im TR eingebaute Näherungsverfahren verlassen und uns damit begnügen, dass wir diese Werte bestenfalls mit Rechnergenauigkeit erhalten. Aber zumindest mit dieser Genauigkeit sollt auch weiter gerechnet werden und dazu ist es nötig, die Werte aus dem Speicher abzurufen und nicht sie mit der Genauigkeit, mit der man sie sich auf einem Blatt Papier notiert hat, neu einzutippen.

Da dein TR sicher die Möglichkeit bietet, Werte in Speichern aufzubewahren, solltest du unbedingt von dieser Möglichkeit Gebrauch machen.

Im übrigen ist die Aufgabe ja so gestellt, dass du als Lösung durchaus auch nur

A_{1} : A_{2} \approx 4,17381 : 1,49077

schreiben dürftest. Es ist ja nur das Verhältnis gefragt.
Allerdings ist der Bezug zu 1 eleganter, weil du dann auch, so wie du es gemacht hast, das Flächenverhältnis verbal besser beschreiben und erfassen kann.

Kann es sein, dass du grundsätzlich alle Integrale und Ableitungen deinen Taschenrechner numerisch erledigen lässt und du deshalb dieses Problem mit der Aufgabe

5.2.2

hast?

Gruß

R

SimbasNala aktiv_icon

12:38 Uhr, 06.04.2015

das ist so richtig.
wir bekommen im unterricht eine aufgabe und müssen die Lösen fragen beantwortet bekommen wir eher selten deswegen bin ich öfters hier.

Daher jetzt nochmal die frage nach dem genauen Rechenweg für die erste Ableitung für

f_{a}

damit ich das endlich nachvollziehen kann.

Roman-22

12:59 Uhr, 06.04.2015

>

Ich habe jetzt die erste ableitung versucht zu machen aber

>

naja das ist mir nicht so super gelungen.
Ja, aber genau daran musst du arbeiten. Das wird doch nix, wenn du selbst eine einfache Produktregel nicht anwenden kannst und du dich offenbar nur auf deinen TR verlässt.
Das heißt es einfach zurück ins Studierzimmer und die Bücher aufgeschlagen. Die Basics des Ableitens musst du dir schon aneignen.

>

habe dann deinen link versucht und habe die ableitung verwedent damit ich weiter komme.
Nun die Form, in der WA die Ableitung angbibt ist für unsere Zwecke nicht optimal. Tipp dort einfach nach dem Ausdruck in die Eingabezeile noch zusätzlich ein "simplify" ein. Dann werden dir unterschiedliche Schrfeibweisen fürdie Ableitung geboten und die erste davon ist schon so wunderschön faktorisiert, dass du die Lösungen direkt ablesen kannst.
Aber wie gesagt, das hilft jetzt und hier. Aber du musst selbst in der Lage sein, eine solche Funktion zu differenzieren. Probiere es es einfach, rechne das hier Schritt für Schritt vor und gib aber auch bei jedem Schritt an, was du dir dabei gedacht hast, welche Regel du glaubst anwenden zu können etc.

>

Um die Extremstellen zu berechnen habe ich dann die ableitung 0 gesetzt
Richtig!

> f_{a}' (x) = e^{x} \cdot (a^{2}

−

2 a (x + 1) + x \cdot (x + 2))

Wie gesagt suboptimal, aber natürlich gehts auch damit.

>

e^a≠0
???? Ein Ausdruck dieser Art ist nie Null, ja, aber wo kommt da jetzt plötzlich

e^{a}

her? Du meinst offenbar

e^{x}

> 0 = (a^{2}

−

2 a (a + 1) + a \cdot (a + 2)

Die öffnende Klammer am Anfang gehört weg, aber viel wichtiger: wohin um Gottes Willen sind denn die

x

verschwunden??

> 0 = (a^{2}

−

2 a^{2}

−

2 a + a^{2} + 2^{a})

>

meine Lösung ist 0
Lösung wofür?
Abgesehen davon, dass jetzt plötzlich ein

2^{a}

auftaucht scheint dir nicht klar zu sein, dass du

x

ausrechnen musst!

Du suchst die Extremstellen der Funktion. Das sind x-Werte. Und da die Funktionsgleichung den Parameter a enthält ist gut möglich, dass dieses a auch in der Lösung für diese x-Werte auftaucht. Das bedeutet die Formulierung, dass du die Extremstellen "in Abhängigkeit von a" berechnen sollst.

Gruß

R

Roman-22

13:05 Uhr, 06.04.2015

>

Daher jetzt nochmal die frage nach dem genauen Rechenweg für die erste Ableitung für

> f_{a}

damit ich das endlich nachvollziehen kann.

Na, wie schon vorhin geschrieben: Stelle deinen bisherigen Versuch hier vor. Gib die Ableitung Schritt für Schritt hier an und gib auch bei den einzelnen Schritten an, welche Regel du glaubst angewendet zu haben, etc.
Vielleicht finden wir dann heraus, woran es hapert.

Gruß

R

SimbasNala aktiv_icon

13:22 Uhr, 06.04.2015

f_{a} (x) = {(x - a)}^{2} \cdot e^{x} - a

zu erst würde ich mit der Produktregel oder mit der Kettenregel anfangen

da kommen wir schon zur ersten Frage
wenn ich die Produktregel anwende und in meiner Formel ein

^2

steht was passiert mit dem quadrat?

also ich dachte so:

f_{a} (x) = 2 \cdot (x - a) \cdot e^{x} - a + {(x - a)}^{2} \cdot e^{x}

Roman-22

14:18 Uhr, 06.04.2015

>

zu erst würde ich mit der Produktregel oder mit der Kettenregel anfangen
oder? womit also.

Zu allererst haben wir eine Summe (bzw. Differenz) hier stehen, und da dürfen wir einfach einzeln ableiten. Der Summand

(- a)

am Ende wird dabei zu Null, weil wir ja nach

x

ableiten.

Somit müssen wir "nur" noch

{(x - a)}^{2} \cdot e^{x}

ableiten.
Das ist ein Produkt, also brauchst du die Produktregel.
Der erste Faktor ist eine Potenz, also benötigst du dafür die Potenzregel. Formal benötigst du auch die Kettenregel, da das Argument der Quadratfunktion nicht

x

sondern

x - a

ist. Allerdings bringt die "innere Ableitung" hier nur den Faktor 1 und liefert somit keinen substanziellen Beitrag.

Deine Ableitung stimmt bis auf das

- a

in der Mitte. Dieser Term ist kein Teil eines der beiden Faktoren auf die du die Produktregel angewandt hast. Dieser Term wurde bereits anfangs bei Anwendung der Summenregel Null.

Bessere deine Ableitung aus, setze sie Null und löse nach

x

auf.
Du kannst das mit einer Formel für quadratische Gleichungen erschlagen, aber eleganter ist es, wenn du in deiner Ableitung den Ausdruck

(x - a)

ausklammerst und den Produkt-Null-Satz anwendest ("Ein Produkt ist Null, wenn mindestens einer seiner Faktoren Null ist").

Gruß

R

SimbasNala aktiv_icon

14:39 Uhr, 06.04.2015

also wenn ich das richtig verstanden habe dann kommt das raus:

die erste ableitung:

f_{a} (x)' = 2 \cdot (x - a) e^{x} + {(x - a)}^{2} \cdot e^{x}

dann null setzten

0 = (x - a) \cdot e^{x} \cdot [(x - a) \cdot 2]

0 \neq (x - a) \cdot e^{x}

0 = 2 x - 2 a

x = a

?

das kommt mir sehr komisch vor wo hab ich denn den fehler :-D)

Roman-22

15:13 Uhr, 06.04.2015

Du hast falsch ausgeklammert und warum glaubst du, dass

(x - a)

nicht Null sein kann?

Gruß

R

SimbasNala aktiv_icon

15:26 Uhr, 06.04.2015

Ich habe keine Ahnung was ich anders ausklammern kann. Na wegen der Lösung dachte ich weil ja zwei Lösungen raus kommen mussten

Roman-22

17:06 Uhr, 06.04.2015

>

Ich habe keine Ahnung was ich anders ausklammern kann. Na wegen der Lösung dachte ich weil ja zwei Lösungen raus kommen mussten

Na dann überleg mal was übrig bleiben muss, wenn du bei einer SUMME etwas ausklammerst - wird wohl noch immer eine SUMME sein müssen.

Und ja, es kommen auch zwei Lösungen raus siehe auch meinen Hinweis auf

(x - a) \neq 0

?
Erstens steht das in der Angabe und zweitens liefert das natürlich auch die Rechnung so. Und wenn du richtig ausklammerst, dann bekommst du die beiden Lösungen auf dem Präsentierteller serviert.

R

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17:18 Uhr, 06.04.2015

Für dich scheint das alles recht offensichtlich zu sein aber ich sehe leider momentan nur noch Zahlen Chaos.

meiner Meinung nach klammert man so aus das man das was vor der klammer steht mit dem innerne multipliziert

also wenn ich

2 (x - a)

habe klammer ich

2 x - 2 a

aus

dann habe ich

{(x - a)}^{2}

also habe ich nach dem ausklammern

x^{2} - a^{2}

aber was zum teufel ist jetzt mit dem

e^{x}

?
lass ich das weg schreib ich das mit hin?

ist die Lösung jetzt nun

2 x - 2 a \cdot + x^{2} - a^{2}

oder? was ist mit diesem

e^{x}

Roman-22

17:31 Uhr, 06.04.2015

Wie würdest du denn den Ausdruck

2 \cdot K \cdot E + K^{2} \cdot E = . .

.

durch Ausklammern in ein Produkt von zwei, besser aber von drei Faktoren zerlegen?

R

Roman-22

17:31 Uhr, 06.04.2015

Wie würdest du denn den Ausdruck

2 \cdot K \cdot E + K^{2} \cdot E = . .

.

durch Ausklammern in ein Produkt von zwei, besser aber von drei Faktoren zerlegen?

R

EDIT: Keine Ahnung, warum dieses Posting jetzt doppelt erscheint.
Zusatzfrage: Was kann man denn bei diesem Ausdruck alles ausklammern?

>

meiner Meinung nach klammert man so aus das man das was vor der klammer

>

steht mit dem innerne multipliziert

>

also wenn ich 2(x−a) habe klammer ich 2x−2a aus

Nein! Ausklammern (oder auch "Herausheben") bezeichnet den umgekehrten Vorgang.
Wenn du also

2 x - 2 a

stehen hast, dann kannst du diesen Ausdruck durch Ausklammern der Zahl 2 als das Produkt

2 \cdot (x - a)

. Und aus

2 + 4 x

wird zB

2 \cdot (1 + 2 x)

.

Du verwechselst "ausklammern" mir "ausrechnen" (ausmultiplizieren).

>

dann habe ich (x−a)^2

>

also habe ich nach dem ausklammern x^2−a^2
HILFE! Klär mich bitte auf! Wann genau wurden die Binomischen Formel abgeschafft?
In der Old School Math, der ich verhaftet bin, galt noch

{(x - a)}^{2} = x^{2} - 2 \cdot x \cdot a + a^{2}

.
Aber deine Variante ist natürlich bestechend einfach und intuitiv, das muss ich schon zugeben. In meiner Mathe-Welt ist es aber falsch, denn hier bei mir gilt leider *nicht*

1 = 1^{2} = {(4 - 3)}^{2} = 4^{2} - 3^{2} = 16 - 9 = 7

R

SimbasNala aktiv_icon

17:35 Uhr, 06.04.2015

Ich habe absolut keine Ahnung.

Danke für die hilfe bis hier her.
Ich werde es anders wo nochmal versuchen.

MFG

Roman-22

18:03 Uhr, 06.04.2015

>

Danke für die hilfe bis hier her.
Kein Ding, gern geschehen.

>

Ich werde es anders wo nochmal versuchen.
Ja, viel Glück!

Ich würde dir allerdings dringend raten, an den mathematischen Grundlagen zu arbeiten und die vielen Lücken, die du da hast, schnellstmöglich zu schließen.

Deine Schwierigkeiten liegen ja nicht (nur) in den Themen, die ihr jetzt aktuell durchnehmt. Du hast ja leider in allem Bereichen, die wir hier in diesem Thread gestreift haben, große Schwierigkeiten. Ob das jetzt das Lösen von Gleichungen, Termumformungen oder Binomische Formeln sind. Ohne dieses Fundament ordentlich zu festigen, wird es aber sehr schwer für dich werden, den dir gestellten aktuellen Anforderungen zu genügen. Und je länger du zuwartest, umso schlimmer wird es. Du wirst nicht mehr lange damit durchkommen, nur anlass- und beispielbezogen dir schnell ein paar Mechanismen anzueignen in der Hoffnung, damit ähnliche Beispiele mit etwas Glück "erschlagen" zu können.

Denn wenn du wirklich, so wie du schreibst, "absolut keine Ahnung" hast, wie der Ausdruck

2 \cdot K \cdot E + K^{2} \cdot E = . .

. durch Ausklammern zerlegt werden kann, dann bist du an einem Punkt angelangt, an dem dringendster Handlungsbedarf besteht.

Die positive Seite ist, dass sich selbst so große Lücken wie bei dir mit entsprechendem Willen, Sitzfleisch und Zeitaufwand noch ganz gut schließen lassen. Aber du solltest sofort damit beginnen.

Viel Erfolg und alles Gute

R

1226672

1226511

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