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Anfangswertaufgabe, Integral

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Tags: Funktionalanalysis

Briggehossler aktiv_icon

19:28 Uhr, 25.04.2017

Hallo zusammen

könnte mir jemand bei Aufgabenteil

a)

helfen? Habe leider keine Idee dazu ..

LG Briggehossler

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

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19:49 Uhr, 25.04.2017

Kennst du den Hauptsatz? de.wikipedia.org/wiki/Fundamentalsatz_der_Analysis

Briggehossler aktiv_icon

19:56 Uhr, 25.04.2017

Hallo

Ja sagt mir was. Und was soll der mir im Bezug zur Aufgabe sagen?

LG

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20:01 Uhr, 25.04.2017

Er ist der Schlüssel zur Lösung der Aufgabe.

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20:07 Uhr, 25.04.2017

Oksy also bei der Implikation

i) \Rightarrow

ii) nehme ich

i)

an und will ii) zeigen. Soll ich dann bei ii) das Integral lösen? Oder was mache ich als erstes?

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20:08 Uhr, 25.04.2017

Als erstes wendest du den Hauptsatz auf

u

an im Intervall

[0, t]

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20:30 Uhr, 25.04.2017

Okay soweit klar. Aber wie finde ich die Stammfunktion von

f (u (s))

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20:32 Uhr, 25.04.2017

Du brauchst die Voraussetzung

f (u (s)) = u' (s)

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20:47 Uhr, 25.04.2017

Also habe ich dann mit der Kettenregel:

u (t) = u_{0} + {[\frac{1}{s} \cdot u (s)]}_{0}^{t}

= u_{0} + (\frac{1}{t} \cdot u (t) - \frac{1}{0} \cdot u (0))

= u_{0} + \frac{1}{t} \cdot u (t)

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20:51 Uhr, 25.04.2017

Kettenregel? Ich verstehe nicht was du da machst.

u (t) = u (0) + \int_{0}^{t} u' (s) d s = u_{0} + \int_{0}^{t} f (u (s)) d s

. Das letzte "=" liegt an der Voraussetzung

i)

Briggehossler aktiv_icon

21:04 Uhr, 25.04.2017

Achsooo.. tut mir leid habe ich falsch verstanden.. dachte ich soll

u' (s)

hoch leiten um die Stammfunktion zu finden.
Und jetzt muss ich ja noch ii)

\Rightarrow i)

zeigen. Vermutlich so ähnlich wie eben .. Diesmal das Integral lösen?

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21:07 Uhr, 25.04.2017

Nein. Du willst doch

u' (t)

und

u (0)

berechnen, also mache das.

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22:08 Uhr, 25.04.2017

Muss ich für

u' (t)

nicht einfach die ganze Gleichung ableiten und erhalte bestenfalls

f (u (t))

? Oder gibt es einen speziellen Trick wie man das löst?

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22:24 Uhr, 25.04.2017

Ja, und das ist dann wieder der besagte Hauptsatz...

Briggehossler aktiv_icon

08:38 Uhr, 26.04.2017

Dann habe ich doch aber das gleiche wie vorher wieder?

u (t) = u (0) + \int_{0}^{t} (u' (s))

= u_{0} + \int_{0}^{t} (f (u (s)))

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12:42 Uhr, 26.04.2017

Der Hauptsatz besteht aus zwei Teilen. Hier brauchst du den anderen Teil. Den Wikipedia-Artikel habe ich oben doch verlinkt, schau es dir an.

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12:59 Uhr, 26.04.2017

Also muss ich diesmal das verwenden:

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)

u' (t) = u_{0}' + [F {(u (s)]}_{0}^{t}

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13:02 Uhr, 26.04.2017

Nein, das haben wir ja eben verwendet. Du musst dir schon mehr Zeit nehmen, um meine Antworten zu durchdenken.

Briggehossler aktiv_icon

13:13 Uhr, 26.04.2017

Also habe ich als Stammfunktion

F (s) = \int_{0}^{t} f (u (s))

ds welche differenzierbar ist. Also ist

F' (s) = f (u (s))

für alle

s \in [0, t]

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13:20 Uhr, 26.04.2017

Es muss

F (t) = \int_{0}^{t} f (u (s)) d s

heißen. Solche Details sind wichtig in der Mathematik. Aber genau, daraus folgt dann

F' (t) = f (u (t))

mit dem Hauptsatz.

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13:26 Uhr, 26.04.2017

Ja stimmt steht so ja eigentlich auch in Wikipedia..
Und was machen ich mit dem

u_{0}

? Das habe ich noch nicht verwendet?

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13:32 Uhr, 26.04.2017

Was hast du denn bisher gezeigt? Und was willst du noch zeigen? Und wo liegt da die Schwierigkeit?

Briggehossler aktiv_icon

18:41 Uhr, 26.04.2017

Es geht doch noch das

u_{0} = u (0)

ist. Kann ich da einfach argumentieren das es der Anfangswert ist?

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23:17 Uhr, 26.04.2017

Ich verstehe das was du aufschreibst nicht. Du musst dich klar und deutlich ausdrücken, sonst ist dir leider nicht zu helfen.

Briggehossler aktiv_icon

07:52 Uhr, 27.04.2017

Noch eine Frage zur

b)

. Da muss ich ja einmal für

x = 0

einsetzen also kommt raus

f (0) = 0

und dann einmal ableiten ergibt

f' (x) = α

Damit hat die Gleichung nur eine Lösung. Stimmt das so?

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13:23 Uhr, 27.04.2017

Keine Ahnung was du meinst. Wie gesagt drücke dich klar aus, oder dir ist leider nicht zu helfen.

Briggehossler aktiv_icon

11:51 Uhr, 28.04.2017

HaT sich erledigt !

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12:35 Uhr, 28.04.2017

Alles klar ;-)

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