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Anfangswertproblem

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

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13:04 Uhr, 29.07.2010

Guten Morgen,
ich habe hier eine Aufgabe, wo ich einfach nicht weiterkomme. Vielleicht kann mir jemand ja helfen .. Danke im voraus.
Aufgabe:
Lösen sie das Anfangswertproblem:

xy'+2y=3x^2-2x+4,

y (1) = 0

Kontrollieren Sie ihre spezielle Lösung durch eine Probe.!

Ich würde vll. das

y' = \frac{d y}{d x}

umwandeln.
Muss man hier zwischen homogenen und partikulären Teil unterscheiden?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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13:36 Uhr, 29.07.2010

Guten Abend,

dividiere die DGL erstmal durch x damit y' allein steht.
Danach betrachte zuerst die homogene Gleichung und widme dich dann mit yp=ax²+bx+c mit einem Koeffizientenvergleich der speziellen Lösung.

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13:55 Uhr, 29.07.2010

Ok alles klar, den homogenen Teil habe ich soweit fertig. Ist das so richtig?
xy'+2y=3x^2-2x+4

| : x

y' + \frac{2 y}{x} = 3 x - 2 + \frac{4}{x}

Homogener Teil:

y' + \frac{2 y}{x} = 0

y' = - \frac{2 y}{x} | : y

\frac{1}{y} \cdot \frac{d y}{d x} = - \frac{2}{x} | \cdot d x

\frac{1}{y} \cdot d y = - \frac{2}{x} \cdot d x

ln(y)=-2ln(x)|e^x

y = (e^{2}) \cdot x

Stimmts so?

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13:59 Uhr, 29.07.2010

Am Schluss wird es falsch.
Nach dem Integrieren hast du:

ln(y)=-2ln(x)+c <=> y=e^(-2ln(x)+c)

Und das kann man noch umschreiben zu y=C*1/x²

Ich bin jetzt erstmal weg, schaue aber gerne heute Abend nochmal rein falls bis dahin noch Fragen sind.

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14:05 Uhr, 29.07.2010

ich verstehe nicht den Schritt zu

\frac{1}{X^{2}}

?
Man kann das doch auch so umschreiben auf der rechten Seite:

- 2 \cdot \frac{1}{x},

wenn man jetzt integriert, kommt da doch

- 2 \cdot ln (x)

raus?

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18:56 Uhr, 29.07.2010

Und halt noch die Integrationskonstante c.
Damit du nach y auflösen kannst musst du auf beiden Seiten

e^{()}

benutzen:

e^{- 2 l n (x) + c} = (e^{l n (x)})^{- 2} \cdot e^{c} = x^{- 2} \cdot e^{c} = \frac{1}{x^{2}} \cdot C

mit C=e^c

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19:01 Uhr, 29.07.2010

ok danke
und wie sieht dann der partikuläre Teil aus?

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19:05 Uhr, 29.07.2010

Steht oben.

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19:09 Uhr, 29.07.2010

ok ich dachte dass ist der Homogene..
muss man nicht beim partikülären Teil die Rechte Seite DGL betrachteN?

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18:23 Uhr, 30.07.2010

Kann Vll. noch einer helfen?
Danke..

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18:25 Uhr, 30.07.2010

Was möchtest du denn noch hören ?
Der Ansatz steht bereits oben:

"...und widme dich dann mit yp=ax²+bx+c mit einem Koeffizientenvergleich der speziellen Lösung."

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23:20 Uhr, 05.08.2010

Ich habe da jetzt folgende Lösungen, ich weiß leider nicht, ob die stimmen.

Homogener Teil=k*1/x^2

Partikulärer Teil:
yp=k*1/x^2 , yp(Ableitung)=k'*1/x^2

+ k \cdot (- 2) x^{- 3}

Ausgangsgl=yp'+2y/x=3x+4/x

- 2

yp' und yp ersetzen=

k \cdot \frac{1}{x^{2}} + - 2 \frac{k}{x^{3}} + \frac{2 k \cdot \frac{1}{x^{2}}}{x} = 2 x + \frac{4}{x} - 2

k \cdot \frac{1}{x^{2}} - 2 \frac{k}{x^{3}} + 2 \frac{k}{x^{3}} = 3 x + \frac{4}{x} - 2

k \cdot \frac{1}{x^{2}} = 3 x + \frac{4}{x} - 2

k = 3 x^{3} + 4 x - 2 x^{2}

\frac{x (3 x^{2} + 4 - 2 x)}{x^{2}}

yp=

[

3x^2+4-2x]/x
y=yh+yp=k*1/x^2

+ \frac{3 x^{2} + 4 x - 2}{x}

Bestimmt falsch. Vielleicht kann einer korrigieren...
Danke im vorraus.

smoka

10:57 Uhr, 06.08.2010

Die Lösung stimmt nicht (kannst Du übrigens leicht prüfen, indem Du die Lösung einsetzt und schaust on es die DGL löst.)
Wo ist denn beim Einsetzen der partikulären Lösung Dein

k ʹ (x)

hin verschwunden?

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