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Anfangswertproblem , Bewegungsgleichung

Universität / Fachhochschule

12:02 Uhr, 28.01.2012

Hallo,

ich bräuchte Hilfe bei dieser Aufgabe:

Wie fange ich denn da am besten an, weil ich ja

x' (t)

und

x'' (t)

habe?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

12:54 Uhr, 28.01.2012

Hallo,

das ist eine linear homogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten. Dafür benutzt man den Ansatz x(t)=exp

(λ \cdot t)

und bestimmt

λ \in ℝ

so, dass die Dgl erfüllt ist. für die dabei möglichen Fälle solltest Du einen Blick in Dein Skript werfen.

Gruß pwm

13:14 Uhr, 28.01.2012

Soweit ist das ja klar. Jedoch habe ich jetzt eine DGl 2. Ordnung. Muss ich jetzt vorher das system 2. Ordnung in ein system 1. Ordnung bringen?

13:38 Uhr, 28.01.2012

mit der umwandlung erhalte ich dann:

y'_{2} (t) = x'' (t) = - \frac{1}{m} \cdot (k \cdot y_{2} (t) + D \cdot y_{1} (t))

für

x (t) = y_{1} (t), x' (t) = y_{2} (t), x''' (t) = y_{3} (t)

y'_{1} (t) = y_{2} (t), y'_{2} (t) = y_{3} (t)

08:50 Uhr, 29.01.2012

Hallo,

das

y_{3}

brauchst Du nicht. Dein Differentialgleichungssystem lautet einfach:

y_{1}' (t) = y_{2} (t)

y_{2}' (t) = - \frac{D}{m} \cdot y_{1} (t) - \frac{k}{m} \cdot y_{2} (t)

Aber Du mußt nicht den Weg über das Differentialgleichungssystem 1. Ordnung gehen. Mit dem von pwmeyer vorgeschlagenen Ansatz

y (t) = e^{λ \cdot t}

geht es in der Regel viel schneller. Wenn man

y (t) = e^{λ \cdot t}

und seine beiden Ableitungen in die Differentialgleichung einsetzt, bekommt man sofort das charakteristische Polynom.

Viele Grüße
Yokozuna

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