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Anfangswertproblem lösen

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

Klaus-Baerbel aktiv_icon

13:32 Uhr, 07.07.2010

Aufgabe lautet wie folgt: Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems

y'' + 4 y' + 3 y = e^{- t}

.

Vorgehen: Nullstellen ausrechnen; diese liegen bei

λ_{1} = - 1

und

λ_{2} = - 3

daraus folgt

y_{1} (t) = e^{- t}

und

y_{2} = e^{- 3 t}

.

Wie muss ich dann weitermachen?

Danke im Voraus :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

MathFun

17:06 Uhr, 07.07.2010

und wo sind die Anfangsbedingungen?

Klaus-Baerbel aktiv_icon

17:18 Uhr, 07.07.2010

Oh, sorry.

y (0) = 1

und

y' (0) = - 1

Yokozuna aktiv_icon

17:32 Uhr, 07.07.2010

Mit

y_{1} (t)

und

y_{2} (t)

hast Du die allgemeine Lösung der homogenen
Differentialgleichung

y'' + 4 y' + 3 y = 0

gefunden. Sie lautet:

y_{h} (t) = C_{1} \cdot y_{1} (t) + C_{2} \cdot y_{2} (t)

C_{1}

und

C_{2}

sind die Integrationskonstanten.

Um die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung

y'' + 4 y' + 3 y = e^{- t}

zu finden, brauchen wir noch eine partikuläre Lösung

y_{p} (t)

der inhomogenen
Differentialgleichung. Die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung
ist dann gleich der Summe aus

y_{h}

und

y_{p},

also

y (t) = y_{h} (t) + y_{p} (t)

.

Wenn man das hat, kann man noch die Werte der Integrationskonstanten mit Hilfe
der Anfangsbedingungen bestimmen.

-dude- aktiv_icon

17:47 Uhr, 07.07.2010

Ich finde das ist hier ganz gut erklärt:
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=525#y%E2%80%99+f%28x%29*y=g%28x%29

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