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Tags: Rationale Zahlen

 
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18:27 Uhr, 14.10.2016

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Hallo, ich soll die folgende Aufgabe lösen:

Entscheiden Sie jeweils, ob die angegebene Menge P ⊂ ℚ eine Anordnung im Sinne von Definition induziert:

P:={(-a-b)|a,b∈ℕ}

Definition:
Eine Teilmenge P ⊂ ℚ induziert eine sog. Anordnung auf ℚ, wenn sie folgende Bedingungen erfüllt:
(1.) Trichotomie:
Für jede Zahl x ∈ ℚ gilt genau einer der drei Fälle x ∈ P oder x=0 oder −x ∈ P.
(2.) Abgeschlossenheit bzgl. Addition:
Für alle x,y ∈ ℚ ist x ∈ P und y ∈ P =⇒ x+y ∈ P.
(3.) Abgeschlossenheit bzgl. Multiplikation:
Für alle x,y ∈ ℚ ist x ∈ P und y ∈ P =⇒ x · y ∈ P. Eine gebräuchliche Schreibweise ist x>0 :⇐⇒ x ∈ P.

Im Falle der rationalen Zahlen gibt es bekanntlich eine traditionelle Wahl für die Teilmenge P ⊂ Q, welche x>0 erklärt. Dabei kann man die sog. natürlichen Zahlen als Ausgangspunkt heranziehen
ℕ:=(1,2,3,4,5,6,. . . ) ⊂ ℤ. Sie bilden eine Teilmenge der ganzen Zahlen,für die sich alle drei Bedingungen der vorangehenden Definition nachweisen lassen – für Z anstelle von Q:

(1.) Für jede Zahl a ∈ Z gilt genau einer der drei Fälle a ∈ N oder a=0 oder −a ∈ N.
(2.) Für alle a,b∈ Z ist a ∈ N und b∈ N =⇒ a+b ∈ N.
(3.) Für alle a,b∈ Z ist a ∈ N und b∈ N =⇒ a · b ∈ N. Wir betrachten eine ganze Zahl a ∈ Z (üblicherweise) als positiv, wenn a ∈ N ist. Das führt zu der Anordnung auf Q, mit der wir vertraut sind: Ein Bruch gilt nämlich als positiv, wenn sowohl Zähler als auch Nenner positiv sind.


Meine Lösung:

Es gilt: -a-b=ab (wurde schon bewiesen)

1.Trichotomie

Für den Nenner gilt: b∈ℕ

Für den Zähler gilt: a∈ℕ

⇒ab∈P

2.Abgeschlossenheit bzg. Addition

Für beliebige rationale Zahlen ab,cd mit a,b,c,d∈ℕ gilt:

ab+cd=a⋅d+b⋅cb⋅d∈P

denn für den Nenner gilt: (b∈ℕ und d∈ℕ)⇒b⋅d∈ℕ
unf für den Zäjler gilt: a,b,c,d∈ℕ⇒a⋅d∈ℕ und b⋅c∈ℕ

3. Abgeschlossenheit bzgl Multiplikation:
ab⋅cd=a⋅cb⋅d∈P

denn für den Nenner gilt: (b∈ℕ und d∈ℕ)⇒b⋅d∈ℕ
und für den Zähler gilt: a∈ℕ und c∈ℕ)⇒a⋅c∈ℕ

Frage: Stimmt das so?

LG



Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
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tobit

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15:37 Uhr, 16.10.2016

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Hallo Spammer!

wie du korrekt am Anfang feststellst, gilt für alle a,b∈ℕ (die 0 zählt also bei euch nicht zu den natürlichen Zahlen?) -a-b=ab. Daher stimmt die in dieser Aufgabe zugrundegelegte Menge P mit der gewöhnlichen Menge P der positiven rationalen Zahlen überein!

Wenn ihr schon wisst, dass letztere Menge P die Eigenschaften (1.), (2.) und (3.) erfüllt, ist somit eigentlich überhaupt nichts mehr weiter zu tun!


Trotzdem eine kurze Korrektur:

(2.) und (3.) sind von der Idee her richtig; am Aufschrieb ließe sich noch feilen.
Wenn du konkretere Vorschläge wünschst, frag einfach gerne nochmal danach.

Bei (1.) erkenne ich keinen Zusammenhang zwischen der zu zeigenden Trichotomie und dem, was du tust.
Gegeben eine beliebige Zahl x∈ℚ ist hier x∈P oder -x∈P oder x=0 zu zeigen.
(Beachte, dass man nicht von DEM Zähler und DEM Nenner von x sprechen kann, denn es gibt viele Bruchdarstellungen von x. Aber es existiert zumindest eine Darstellung x=ab mit a∈ℤ und b∈ℤ bzw. sogar b∈ℕ.)


Viele Grüße
Tobias
Spammer

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20:21 Uhr, 16.10.2016

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@tobit

ja klar, du kannst mir gerne erklären was man bei (2) und (3) anders aufschreiben kann.

Also du meinst, bei (1) muss man die Trichotomie nicht für Zähler und Nenner zeigen sondern für die "komplette" Zahl?

LG
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tobit

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20:54 Uhr, 16.10.2016

Antworten
Zunächst die kleinen Vorschläge zur Formulierung von 2. und 3. am Beispiel von 2.:

2. Seien x,y∈P. Zu zeigen ist x+y∈P.
Da x,y∈P existieren a,b,c,d∈ℕ mit x=ab und y=cd.
Es folgt x+y=ab+cd=a⋅d+b⋅cb⋅d.
Wegen a⋅d+b⋅c∈ℕ und b⋅d∈ℕ zeigt dies x+y∈P.

(Gegebenenfalls könnte man noch ausführlicher a⋅d+b⋅c∈ℕ und b⋅d∈ℕ begründen.)


Mir ist nicht ganz klar, was du mit "Trichotomie für Zähler und Nenner" meinst.
Eine Teilmenge P von ℚ erfüllt die Trichotomie per Definitionem genau dann, wenn für alle rationalen Zahlen x genau eine der drei Bedingungen x∈P, -x∈P und x=0 gilt.
In dieser Definition tauchen nirgendwo Zähler und Nenner explizit auf.

(In meiner vorherigen Antwort ist mir leider ein Fehler unterlaufen: Gegeben eine beliebige rationale Zahl x ist nicht nur zu zeigen, dass MINDESTENS eine der Bedingungen erfüllt ist, sondern dass GENAU eine der drei Bedingungen erfüllt ist.)


(Sicherheitshalber wiederhole ich: Dieser aufwändige Beweis kann entfallen, wenn das P aus der Aufgabe als das bekannte P aus der Vorlesung identifiziert wurde und für letztgenanntes P der Nachweis schon geführt wurde.)
Spammer

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21:33 Uhr, 16.10.2016

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@tobit

ok danke,

also für 1) kann ich dann schreiben:

Es gilt: -a-b=ab∈P   laut Def...

und für 3) kann ich schreiben:

Seine x,y∈P. Zu zeigen ist x⋅y∈P.
Da x,y∈P existieren a,b,c,d∈ℕ mit x=ab und y=cd.
Es folgt x⋅y=a⋅cb⋅d
Wegen a⋅c∈ℕ und b⋅d∈ℕ zeigt dies x⋅y∈P.
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tobit

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22:22 Uhr, 16.10.2016

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Zu 3): Alles bestens.
Vorausgesetzt natürlich, du hast vorher korrekt begründet, dass P={ab∣a,b∈ℕ} für P={-a-b∣a,b∈ℕ} gilt.


Was du zu 1) schreibst, verstehe ich nicht. Ich verstehe zwar, dass für alle natürlichen Zahlen a und b -a-b=ab und dass diese beiden (übereinstimmenden) rationalen Zahlen Element von P sind. Aber ich verstehe nicht, was das zu 1) beitragen soll?


Ich möchte nochmal klarstellen, dass du diese Aufgabe auf zwei verschiedenen Wegen lösen kannst:
Erster Weg: Durch direktes Verifizieren von 1.), 2.) und 3.). Das macht etwas Arbeit.
Zweiter Weg: Nutzen, dass ihr bestimmt schon wisst (oder irre ich hier?), dass P={ab∣a,b∈ℕ} den Eigenschaften 1.), 2.) und 3.) genügt. Dafür ist fast nichts zu tun.

Ich will dir den ersten Weg nicht verbieten, er ist ja auch eine gute Übung (und 2.) und 3.) hast du sowieso schon verifiziert so dass "nur" noch 1.) zu erledigen bliebe).

Aber du solltest zumindest verstanden haben, wie kurz es mittels des zweiten Weges geht:

Ich nenne die aus der Vorlesung bekannte Menge P={ab∣a,b∈ℕ} der Verdeutlichung halber mal PV (V wie Vorlesung) und die in unserer Aufgabe gegebene Menge P={-a-b∣a,b∈ℕ} nenne ich PA (A wie Aufgabe).

Dann kannst du die Aufgabe wie folgt vollständig lösen (zweiter Weg):

Sei PV:={ab∣a,b∈ℕ} und PA:={-a-b∣a,b∈ℕ}.
Zu zeigen ist, dass PA den Bedingungen 1.), 2.) und 3.) genügt.
Wir wissen aus der Vorlesung, dass PV den Bedingungen 1.), 2.) und 3.) genügt.
Daher genügt es, PA=PV zu zeigen.
Da für alle a,b∈ℕ jeweils -a-b=ab gilt (wie wir gemäß Bemerkung ... aus der Vorlesung wissen), folgt PA=PV unmittelbar aus den Definitionen von PA und PV.
Frage beantwortet
Spammer

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22:44 Uhr, 16.10.2016

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@tobit

ok danke dir, ja das macht Sinn.

Ich habe noch zwei weitere Aufgaben, die ähnlich sind. Die werde ich dann Morgen posten.

Danke auf jedenfall schonmal.

LG
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tobit

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07:18 Uhr, 17.10.2016

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Mir fällt gerade auf, dass die Aufgabenstellung nicht lautet "Zeigen Sie, dass P eine Anordnung induziert." (wie von mir irrtümlich angenommen), sondern "Entscheiden Sie, ob P eine Anordnung induziert.".

Demzufolge lautet die korrekte Antwort "Ja.".
Begründen lässt sich diese Antwort auf die erwähnten zwei Wege, von denen ich den zweiten (und deutlich kürzeren) in der vorigen Antwort komplett ausgeführt habe.
Spammer

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07:23 Uhr, 17.10.2016

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@tobit

Jo, ich werde den zweiten Weg von dir nehmen und als "Schlussatz" schreiben:

"Daraus folgt, dass P eine Anordnung im Sinne von Def...induziert."
Antwort
tobit

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07:29 Uhr, 17.10.2016

Antworten
Gut! :-)
Frage beantwortet
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07:38 Uhr, 17.10.2016

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ok danke, weitere Aufgaben folgen :-)