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Anwendungsaufgabe Kurvendiskussion Logarithmus

Schüler, Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Differenzation, Kurvendiskussion, Logarithmusfunktion

CuteCranberry aktiv_icon

16:19 Uhr, 08.02.2010

Hallooo,
und zwar muss ich eine Kurvendiskussion machen für ne

ln

funktion.
ich hab bis jetzt die beiden ableitungen gebildet doch mir fehlen noch aufgaben zur kurvendiskussion wo ich nicht weiterkomme.

ich hoffe auf hilfe

\land

y = f (x) =

ln(x²-2x+2)

f' (x) =

1/x²-2x+2

f'' (x) =

2x²+4x/(x²-2x+2)2

gesucht sind:

\to

Achsenschnittpunkte

\to

lokale Extrempunkte

\to

Verhalten im Unendlichen

\to

Wendepunkte ( ohne Nachweis)

\to

Definitionsbereich

\to

Tangente in

P (\frac{0}{ln 2})

und

R (\frac{2}{ln 2});

bilden ein Dreieck mit der x-achse. Finde sie die Fläche des Dreiecks.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Logarithmusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
ln-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kurvendiskussion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechnen mit Logarithmen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Thesi aktiv_icon

23:59 Uhr, 08.02.2010

Hi,

also dann wollen wir einmal.

Als erstes muss ich dir leider sagen, das deine ABleitungen falsch sind.

Bei der ersten Ableitung hast du das Nachdifferenzieren vergessen.

f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 2 x + 2} \cdot (2 x - 2) = \frac{2 x - 2}{x^{2} - 2 x + 2}

Die 2. Ableitung stimmt auch nicht. Das hat 2 Gründe. Einmal stimmte die 1. Ableitung schon nicht und dann hast du auch noch einen Fehler bei der Quotientenregel gemacht.

f'' (x) = \frac{2 \cdot (x^{2} - 2 x + 2) - (2 x - 2) \cdot (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}} = \frac{2 x^{2} - 4 x + 4 - {(2 x - 2)}^{2}}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}} = \frac{2 x^{2} - 4 x + 4 - 4 x^{2} + 8 x - 4}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}} = \frac{- 2 x^{2} + 4 x}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}

So jetzt haben wir schon einmal die richtigen Ableitungen.

So jetzt zu deinen Fragen:

1. Achsenschnittpunkte.

Damit ist gemeint, wo die Funktion die

x -

bzw. die y-Achse schneidet.
Damit die x-Achse geschnittwen wird muss der y-Wert an der x-Stelle Null sein.
Also müssen wir die Funktion einfach gleich Null setzen.

f (x) = 0

.

Für den Schnittpunkt mit der y-Achse muss

x

Null sein. Also rechnen wir unsere Funktion für

x = 0

aus.

f (0) =

??

So das schaffst du auch alleine und vor allem sollst du ja auch noch etwas selber machen, da das einen besseren Lerneffekt mit sich bringt.

2. Extrema.

Extrema sind dort, wo die Funktion eine Steigung von Null besitzt.
Die 1. Ableitung gibt uns die steigung der Funktion an.
Also wenn die Steigung gleich Null sein soll, dann muss auch die 1. Ableitung gleich Null sein.

f' (x) = 0

.
Dann überprüfen wir noch mithilfe der 2. Ableitung ob es sich an der Stelle um ein Maximum oder ein Minumin handelt.
Ist

f'' (x) < 0,

dann haben wir ein Maximum und ist

f'' (x) > 0,

dann handelt es sich bei dem Extremum um ein Minimum.

3. Grenzwert.

Also wir bilden den Limes von der Funktion mit

x \to \infty (

bzw. die Definitionsgrenzen). Du musst natürlich wissen ob die Funktion überhaupt gegen

\infty

oder

- \infty

gehen kann, oder ob es da Definitionsläpcken gibt. Daher bestimme erst de nDefinitionsbereich.

lim_{x \to \infty} f (x) = . .

.
Hier überlegst du dir dann einfach wie der

ln

verläuft und wohin die Funktion in Inneren strebt. Dann solltest du durch einfach Überlegung auf das Ergebnis kommen.

4.Wendepunkt.

Also die Funktion hat dort einen Wendepunkt, wo die 2. Ableitung gleich Null ist.
Also müssen wir nur

f'' (x) = 0

setzen.
Da wir nicht nachweisen sollen, ob es sich wirklich um einen Wendepunkt handelt sind wir damit dann auch schon fertig.

5. Definitionsbereich.

Also du musst dir eben vorstellen, wie die ln-Funktion verläuft und welche Argumente im Inneren (also welche Werte

g (x) = x^{2} - 2 x + 2

annehmen darf, damit die Zahl gültig für die ln-Funktion bleibt)

6. Dreiecksfläche.

Hier bin ich mir nicht ganz

100 %

sicher, aber ich schreib dir einfach mal meine Idee, wie ich es versuchen würde. Aber keine Garantie dafür (bin mir aber schon sehr sicher, aber auch schon sehr müde) ;-)
Also stell zuerst die beiden Geradengleichungen für die Tangenten auf, dann setze sie gleich um den Schnittpunkt zu finden. Der y-Wert deines Schnittpunktes ist die Höhe deines Dreiecks. Dann brauchst du noch die Schnittpunkte von Tangente1 mit der x-Achse und Tangente2 mit der x-Achse. Dann berechnest du den Abstand der beiden x-Achsenschnittpunkte und das ist dann deine Grundlinie.
Jetzt haben wir

g

und

h

und können damit über die bekannte Formel die Fläche des Dreiecks berechen.

So nun versuch dich einmal daran und werde ich morgen oder die nächsten Tage wieder reinschauen um dann deine Lösung anzuschauen bzw. weitere Fragen zu beantworten.

Falls du irgendwo gar nicht weiterkommst, dann kann ich es dir auch gerne vorrechnen, aber versuch es zuerst selber, da lernt mehr, als wenn man nur die Lösung anschaut und versucht die zu verstehen ;-)

Aber mit der Anleitung dürftest du es schaffen. Ansonsten meld dich einfach

Gruß und gute Nacht
Thesi

CuteCranberry aktiv_icon

13:34 Uhr, 13.02.2010

Vielen Dank für deine HIlfe.
Habe die Aufgaben beim Vergleichen in der Schule tatsählich alle richtig gercnet gehabt.

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