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Anzahl der Monome mit deg(..)<=15
Universität / Fachhochschule
Binomialkoeffizienten
Erzeugende Funktionen
Tags: Binomialkoeffizient, Erzeugende Funktionen
 
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Wie viele Monome vom Grad höchstens 15 gibt es? Nun, ich muss mich also nach fragen. Dazu mache ich stelle ich folgende Alltagsanalogie (vielleicht führt sie eher zu einer Lösungsidee): In sechs Laden, sollen Socken so aufgeteilt werden, dass ihre Summe maximal 15 beträgt. Dabei kommt es auf die Reihenfolge der Socken in den Laden nicht an. Es darf auch vorkommen, dass eine Lade keinen Socken erhält. Wie könnte ich nun vorgehen? Hat jemand tipps? Ich sehe jedenfalls nur Durchprobieren als Lösung. Vielleicht solle ich ein Programm schreiben, dass mir dies blitzschnell auflistet. Oder kann mir jemand einen Rat geben? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Hallo, bei solchen Aufgaben hilft immer das folgende Bild: Vor Dir ist ein Tisch mit den Kugeln in einer Reihe, die weit genug auseinanderliegen, dass man dazwischen jeweils bis zu 6 Bleistifte legen kann, auch links neben der ersten und rechts neben der letzten Kugel ist genug Platz. Jetzt verteilst Du vollkommen beliebig die 6 Bleistifte auf die Plätze (die beiden Plätze "außerhalb" der Kugeln bzw. die Plätze dazwischen). Jetzt suchst Du den Bleistift, der am weitesten links liegt. Liegen dort mehrere an der selben Stelle, dann ist eben einer der Bleistifte der, der am weitesten links liegt, welcher, das ist egal. Zähle die Kugeln links neben dem "linksten" Bleistift, die Anzahl ist . Lag der Bleistift links neben der ersten Kugel, dann ist eben Null. Jetzt suche den zweiten Bleistift von links. Sind es mehrere Bleistifte, dann nimm wieder einen beliebigen dieser Bleistifte als Nummer 2. Der Wert ergibt sich als die Anzahl der Kugeln zwischen dem ersten und dem zweiten Bleistift. Liegen der erste und der zweite Bleistift am selben Platz, dann ist eben Null. Mache so weiter, bis Du als die Anzahl der Kugeln zwischen dem fünften und dem sechsten Bleistift festgelegt hast. Die übrigen Kugeln rechts neben dem sechsten Bleistift sind der Forderung " " geschuldet, . sie ergeben den Rest des Grades des gefundenen Monoms zum Grad . Wäre genau der Grad gefragt gewesen, müßte man mit 5 Bleistiften arbeiten und der Wert ergäbe sich aus den Kugeln rechts neben dem fünften Bleistift. Umgekehrt kannst Du zu jeder Menge von . zwischen Deine Kugeln 6 Bleistifte positionieren. Demzufolge gibt es für beides einen Isomorphismus und damit gleichviel Möglichkeiten. Wie könnte man diese Möglichkeiten einfach beschreiben, ohne dass man ein Foto machen muß? Die Kugeln spielen keine Rolle, die liegen immer an der selben Stelle. Für die Bleistifte kann man sich vorstellen, dass man sich die Position als Zahl notiert. . oder . Das ist eine Folge von Zahlen aus dem Grundbereich von 0 bis . Die Reihenfolge ist aufsteigend, . wenn man die Zahlen zieht, dann ist die Reihenfolge bei der Ziehung beliebig. Es kann Wiederholungen geben, jede Zahl kann bis zu 6 Mal auftauchen. Damit hat man letztendlich eine Kombination mit Wiederholung mit den Werten und . Das Berechnen schaffst Du anhand der bekannten Formel sicher selbst. |
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Ein sehr interessanter Ansatz! Ich sehe schon, das könnte sich in der Tat auf eine ganze Klasse von ähnlichen Problemen anwenden lassen! :-) Ich möchte mich herzlich bei dir bedanken! Ich antworte erst jetzt, da ich gestern zu unkonzentriert war um deine Antwort gänzlich durchzudenken! Daraus sollte aber keinesfalls Undankbarkeit abzuleiten sein! Am liebsten würde ich dir nun auch helfen! Unglücklicherweise werde ich aber bei deinen mathematischen Problemen stark überfordert sein! :( |
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